江苏省扬州中学2024-2025学年高二3月月考数学试题.docxVIP

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江苏省扬州中学2024-2025学年高二3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，，且，则x的值为（????）

A． B． C．6 D．

2．曲线在点处的切线的倾斜角为（????）

A．30° B．45° C．120° D．135°

3．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（????）

A． B．

C． D．

4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

5．函数的大致图象为（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

6．在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（???）

A．1 B． C． D．

7．已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

8．已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列结论中正确的有（????）

A． B．

C． D．

10．如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（????）

??

A．若，则平面

B．若，则点的轨迹长度为

C．若，则存在，使

D．若，则存在，使平面

11．已知函数（，且），下列说法正确的是（???）

A．当时，可能存在两个零点

B．若恒成立，则

C．若恒成立，则的最小值为

D．若恒成立，且，则

三、填空题

12．已知，，则向量在向量上的投影向量是.

13．如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是．

??

14．已知正四面体的棱长为6，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是.

四、解答题

15．已知函数，且满足

(1)求实数的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

16．如图，在三棱柱中，，，，点满足.

??

(1)用表示；

(2)若三棱锥的所有棱长均为，求及.

17．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

18．如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

19．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点.

（i）求实数的取值范围；

（ii）求证：在区间内有唯一的零点，且.

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《江苏省扬州中学2024-2025学年高二3月月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

B

C

A

C

D

A

ACD

ABD

题号

11

答案

BCD

1．D

【分析】由空间向量平行列出方程即可求解.

【详解】由题意，，且，所以，解得.

故选：D.

2．D

【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角.

【详解】因为，则，所以，

所以曲线在点处的切线的倾斜角为.

故选：D．

3．B

【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.

【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则，

∴．

故选:B．

4．C

【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解.

【详解】，因为分别为的中点，

所以，，且，

则

，

所以，

即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为.

故选：C

5．A

【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据导数正负排除BC.

【详解】由题意，，故函数的图象关于y轴对称，排除D；

当时，，，，排除B，

可知时，其中是无限接近0的一个正数，，排除C；

故选:A．

6．C

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项.

【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，

则，设．

??

因为，平面，平面，故平面，

故直线到平面的距离为到平面的距离.

，，

设平面的法向量为，则由可得：

，取，

故到平面的距离