2023年高考真题——数学（北京卷） 含答案.doc

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1已知集合，则（）

A B.

C. D.

2.在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数（）

A. B.

C. D.

3.已知向量满足，则（）

A. B. C.0 D.1

4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

5.的展开式中的系数为（）．

A. B. C.40 D.80

6.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）

A.7 B.6 C.5 D.4

7.在中，，则（）

A. B. C. D.

8.若，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）

A. B.

C. D.

10.已知数列满足，则（）

A.当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

B.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

C.当时，递减数列，且存在常数，使得恒成立

D.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知函数，则____________．

12.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．

13.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________，_________．

14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．

15.设，函数，给出下列四个结论：

①在区间上单调递减；

②当时，存在最大值；

③设，则；

④设．若存在最小值，则a的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是____________．

三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.如图，在三棱锥中，平面，．

（1）求证：平面PAB；

（2）求二面角的大小．

17.设函数．

（1）若，求的值．

（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．

条件①：；

条件②：；

条件③：在区间上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段

价格变化

第1天到第20天

-

+

+

0

-

-

-

+

+

0

+

0

-

-

+

-

+

0

0

+

第21天到第40天

0

+

+

0

-

-

-

+

+

0

+

0

+

-

-

-

+

0

-

+

用频率估计概率．

（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；

（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

19.已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．

（1）求的方程；

（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

20.设函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）设函数，求的单调区间；

（3）求的极值点个数．

21.已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.