《第十三章 轴对称》专题复习与单元检测试卷.pptx

《第十三章轴对称》专题复习与轴对称有关的问题及轴对称性质在倍角中的应用

构造全等三角形1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D.求

证：AC＝AB＋BD.证明：如图，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△AED中，

?∴△ABD≌△AED(SAS).∴BD＝DE，∠B＝∠1.∵∠B＝2∠C，∴∠1＝2∠C.∴∠2＝∠C.∴DE＝EC＝BD.∵AC＝AE＋EC，∴AC＝AB＋BD.

2.如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，且BD⊥

AD于点D.求证：AC＝AB＋2BD.解：如图，延长BD交AC于点E.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°.

?∴△ABD≌△AED(ASA).∴AB＝AE，∠ABE＝∠AEB，BD＝DE.∵∠AEB＝∠C＋∠EBC，∠ABC＝3∠C＝∠ABE＋∠EBC，∴∠C＝∠EBC.∴EB＝EC＝2BD.∴AC＝AE＋EC＝AB＋EB＝AB＋2BD.

线段垂直平分线的应用3.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，BD＝

CD，点P是BA延长线上一点，O是线段AD上一点，OP＝OC.(1)求证：∠APO＋∠DCO＝30°；(1)证明：如图，连接OB.∵AD⊥BC，BD＝CD，∴OB＝OC，AB＝AC.

?

(2)判断△OPC的形状，并说明理由.(2)解：△OPC是等边三角形.理由：∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∠PBC＝30°，∴∠APC＋∠DCP＝150°.又∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°.∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.又∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形.

等腰三角形常用辅助线方法1有底边中点时，常作底边中线4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB

的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上

的一动点，求△BDM周长的最小值.

解：如图，连接AD交EF于点M，∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴AD⊥BC.?∵直线EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A.∴AM＝BM.∴AD的长为BM＋MD的最小值.?

方法2等腰三角形中证明腰上的中线与其他线段的倍分关系时，常用

倍长中线法5.如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求

证：CD＝2CE.

证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，?∴△BEF≌△AEC(SAS).∴∠EBF＝∠BAC.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝AB＝BD.在△CBF和△CBD中，?∴△CBF≌△CBD(SAS).∴CF＝CD.∴CD＝2CE.

方法3截长补短法构造等腰三角形6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝

60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.证明：如图，延长BD至点E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形.

∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴∠AEB＝60°，AB