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对称中心的求法

函数

对称中心的求法

性质1函数图像关于点（h,k）成中心对称的充要条件是等式对一切恒成立

说明:此性质可用来求函数对称中心：设函数的对称中心为（h,k），由等式

对一切恒成立解出待定常数h、k（若无解，说明函数非中心对称函数），即得函数对称中心

性质2将奇函数的图像向右平移h,向上平移k，所得函数的图像关于点（h，k）成中心对称

说明:用性质2（奇函数平移法）求函数的对称中心，关键在于能否成功构造奇函数

性质3若函数图像关于点（h，k）成中心对称，（p，q，r，s为常数且r·p），则函数图像关于点成中心对称

,的对称中心是

推导方法:x→+∞,;x→-∞,;所以纵坐标

性质4若函数图像关于点（h,k）成中心对称，且在定义域D内存在二阶导数，则

说明:仅是h为对称中心横坐标的必要条件，即对任意函数来说，方程的解h不一定就是对称中心的横坐标（比如），还要检验式子是否对一切恒为常数（设为2k），若是，则为中心对称函数，且对称中心为（h，k），若不是，说明不具有中心对称性质.

只要自变量之和是对称中心横坐标的项数倍，那么函数值之和也一定是对称中心纵坐标的项数倍?如果是这样，那么其逆命题是否也能成立呢？但其逆命

题需要在给定函数为单调的前提下方能成立

给了函数求对称中心,根据对称中心判断出函数值的和是定值.

（09，上海）已知函数．项数为27的等差数列满足，且公差≠0．若，则当时，．

依题意可知：函数为上的奇函数且单调递增,

又,且等差数列{}满足,

对于这个题目,学生容易发现奇函数特点很明显,图像关于点(0,0)对称,借助等差数列可知关于对称,于对称,…,因此必定有则必有且,即得时,．

故答案为：14．

严格证明函数为上的奇函数且单调递增,.

考虑到{}为等差数列,故由得,假设,则与题意矛盾;

假设,则

也与题意矛盾

综上可知,,故

优化后的思路:无限靠近对称中心27,.前提,函数有对称中心且单调,这里用到了前面结论函数之和是对称中心纵坐标的项数倍,则自变量之和也是对称中心横坐标的项数倍.

（08年）设函数，曲线在点处的切线方程为y=3．

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

解：（Ⅰ），

于是解得或(计算时可用换元法,)

因，故．

（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．

所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像向右移一个单位,向上平移一个单位，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．

(2012年四川文科第12题)设函数，是公差不为0的等差数列，，则（）

A、0B、7C、14D、21

靠近对称中心,7,,求

对称中心的求法1:二阶导数为0

解析:因为函数,其导函数所以在R上单调递增,二阶求导得令的x=3,所以函数关于(3,2)成中心对称

对称中心的求法2:函数性质

,(为常数).所以函数关于(3,2)成中心对称,

对称中心的求法3:用函数平移,所以函数关于(3,2)成中心对称,

由于=14=,所以由新性质2即得,故选D.

(2012年四川理科第12题)设函数，是公差为的等差数列，，则（）

A、B、C、D、

解法：正确选项为D

对称中心的求法1:二阶导数为0

其导数为，所以在R是增函数求二阶导的,令得.而(为常数),所以关于成中心对称(说明函数有无数个对称中心)

对称中心的求法2:函数性质而(为常数),所以关于成中心对称(说明函数有无数个对称中心),

对称中心的求法3:拆成两个函数,有无数个对称中心,

当k=0时,其中一个对称中心为,由于,

所以即得,所以所以,故选D.

所以是唯一零点，结合可知

由条件，，

故正确选项为D．

解法1：由题意：

即

故=，

则，又公差为，则，．

所以，故选．

赏析：通过构造辅助函数，把已知等式化为（1），然后由等差数列有将上式分成三组

，，（2）

在假设（或）的条件下，利用用是增函数且为奇函数性质：

（或）

得出（2）中各组的符号，由此得到（或）．又时，，因而．由此地求得使问题获解．

赏析：初看题目让人百思难解，若能透过表象看透本质，则茅塞顿开，豁然开朗．

命题者紧扣课本一道基本题，巧妙嫁接教材等差数列求和推导方法，与2002年全国理科卷16题“已知函数，那么

”有异曲同工之妙．

见到f()+f()+f()=定值,便向对称中心

出题方向发展:(1)给了对称中心(轴),求根的和(2)给了两个函数值和为定值对称中心(3)给了多个函数