专题04 构造函数的应用（4大题型）（解析版）.docx

专题04构造函数的应用

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TOC\o1-1\h\u题型01构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等） 1

题型02构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原） 5

题型03构造函数求参数的最值（范围） 9

题型04构造函数证明不等式 13

题型01构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）

【解题规律·提分快招】

【常见同构形式】

（1）乘积模型：

（2）商式模型：

（3）和差模型：

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得.

【详解】记，则，

可知在上单调递增，则，即，

可得；

又因为，则，即；

所以.

故选：B.

2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可.

【详解】由题意可得，，，

设，，则，

故当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

因为，，，且，

可得，，所以.

故选：D.

3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将不等式变形为，构造函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系即可求解.

【详解】由已知，即.

设，则，.

，，.

当时，，

在上单调递增，所以.

故选：B.

4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先通过数值放缩判断与及与的大小关系，然后构造函数，

利用导数研究函数的单调性，借助函数单调性判断与的大小关系.

【详解】因为，所以；

因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；

构造函数，则，

令，则，

显然在上单调递增，所以，

故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，

从而，故有，整理得，

所以，故．

故选：B

5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（?????）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可．

【详解】令，求导得，，，

当时，，函数在单调递减，

当时，，函数在单调递增，

所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以，

所以，设，则，

记，则，记，

则，所以在上单调递增，

故时，，即，

所以在上单调递增，故时，，

即，所以在上单调递增，

故时，，即，所以，

又，所以，即，所以．

故选：A

6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对分别取对数并作商，再构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.

【详解】由，得，

令，求导得，令，

求导得，函数在上单调递减，，

即，函数在上单调递减，则，

即，，因此；

令，求导得，当时，，

即，函数在上单调递减，则，

即，，因此，

所以.

故选：C

【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.

题型02构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）

【解题规律·提分快招】

一、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

二、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型6.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造

（2）若，则构造

模型8.对于，构造.

模型9.对于，构造.

模型10.（1）对于，即，

构造．

（2）对于，构造．

模型11.（1）（2）

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.

【详解】设，则，故单调递增.

又，故可转化为，即，

由单调递增可得，解得或，

即不等式的解集为.