专题09 杨辉三角与裴波那契数列（2大题型）（原卷版）.docx

专题09杨辉三角与裴波那契数列

目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）

TOC\o1-1\h\u题型01杨辉三角中的数列问题 1

题型02裴波那契数列 4

题型01杨辉三角中的数列问题

【解题规律·提分快招】

1、第二层是自然数列

2、第三层是三角数列

这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．

3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（????）

??

A． B． C． D．

二、填空题

2．（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为．

3．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则；若数列的前项和为Sn，则.

4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为；表示第行所有项的乘积，设，则.

5．（23-24高三下·重庆璧山·阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则．

???

??????

?????????

????????????

???????????????

??????????????????

题型02裴波那契数列

【解题规律·提分快招】

一、斐波那契数列

1、斐波那契数列概念

把这个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…称为斐波那契数列，一般记为{Fn}。

2、斐波那契数列的递推公式

3、斐波那契数列的通项公式

4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多?斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·陕西宝鸡·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（????）

A． B．

C． D．

3．（24-25高三上·甘肃甘南·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（???）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．（2024·四川·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo??Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第项.

5．（23-24高三下·云南昆明·期中）斐波那契数列(Fibonaccisequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列有如下递推公式：，通项公式为，故又称黄金分割数列．若且，则中所有