2018-2019学年高中一轮复习数学讲义第六章数列与数学归纳法.doc

第六章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))数列与数学归纳法

第一节数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

概念

含义

数列

按照一定顺序排列的一列数

数列的项

数列中的每一个数

数列的通项

数列{an}的第n项an

通项公式

数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式

前n项和

数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和

2.数列的表示方法

列表法

列表格表示n与an的对应关系

图象法

把点(n，an)画在平面直角坐标系中

公式法

通项公式

把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式

使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法

3.an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

4．数列的分类

[小题体验]

1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________．

答案：an＝2n－1(n∈N*)

2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2an＋3)，则a5等于________．

答案：eq\f(1,161)

3．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n－1，则an＝________.

答案：2×3n－1

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．

答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))

2．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．

答案：4或5

eq\a\vs4\al(考点一由数列的前几项求数列的通项公式)eq\a\vs4\al(?基础送分型考点——自主练透?)

[题组练透]

1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))②an＝eq\f(1＋?－1?n,2)，③an＝eq\f(1＋cosnπ,2)，④an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2))).其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()

A．①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

解析：选A检验知①②③都是所给数列的通项公式．

2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

(1)4,6,8,10，…；

(2)(易错题)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；

(3)－1,7，－13,19,…；

(4)9,99,999,9999，….

解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.

(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×eq\f(1,n?n＋1?)，n∈N*.

(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.

(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.

[谨记通法]

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题．

eq\a\vs4\al(考点二由an与Sn的关系求通项an)eq\a\vs4\al(?重点保分型