2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题4.4 因式分解章末八大题型总结(培优篇)(学生版).docx

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专题4.4因式分解章末八大题型总结（培优篇）

【北师大版】

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【题型1因式分解的概念辨析】 1

【题型2因式分解（提公因式与公式法综合）】 1

【题型3因式分解（十字相乘法】 2

【题型4因式分解（分组分解法）】 2

【题型5利用因式分解求值】 3

【题型6利用因式分解解决新定义问题】 3

【题型7利用因式分解解决整除问题】 4

【题型8因式分解中的规律探究问题】 4

【题型1因式分解的概念辨析】

【例1】（2024八年级下·广西贵港·期中）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得(x?1)(x+6)；小芳看错了n的值，分解得(x?2)(x+1)，那么原式x2+mx+n正确分解为.

【变式1-1】（2024八年级下·广东深圳·期中）下列从左到右的变形，是分解因式的是(????)

A．4a2+2a=2a

C．a+3a?3=a

【变式1-2】（2024八年级下·山东烟台·期中）若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，则m＝．

【变式1-3】（2024八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x的二次三项式x2?4x+m在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是

【题型2因式分解（提公因式与公式法综合）】

【例2】（2024八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）因式分解a2x?2ax+x?x

【变式2-1】（2024八年级下·四川眉山·期中）下列因式分解不正确的是（????）

A．3

B．?4

C．x

D．a

【变式2-2】（2024八年级下·四川眉山·期中）因式分解：

(1)?10xy

(2)a3

【变式2-3】（2024八年级下·广东茂名·阶段练习）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x?1，a?b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将

A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国

【题型3因式分解（十字相乘法】

【例3】（2024八年级下·北京东城·期中）利用整式的乘法运算法则推导得出：ax+bcx+d=acx2+ad+bcx+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+ad+bcx+bd=ax+bcx+d．通过观察可把acx2+ad+bcx+bd

根据阅读材料解决下列问题：

(1)用十字相乘法分解因式：x2

(2)用十字相乘法分解因式：6x

(3)结合本题知识，分解因式：20(x+y)

【变式3-1】（2024八年级下·上海静安·期中）因式分解：x4?5

【变式3-2】（2024八年级下·上海杨浦·期中）分解因式：x2

【变式3-3】（2024八年级下·江苏南通·期中）现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形（ab），8张宽为a，长为b的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的边长为（???）

A．2a+3b B．2a+b C．a+3b D．3a+2b

【题型4因式分解（分组分解法）】

【例4】（2024八年级下·安徽滁州·期中）典型例题学习：

例题：把多项式x2

解：x

=x

=x+yx?y+a

=

学以致用：

(1)请仿照例题分解因式的方法，把多项式4a

(2)请运用上述分解因式的方法，把多项式1+m+m1+m

【变式4-1】（2024八年级下·上海·期中）因式分解：16?1

【变式4-2】（2024八年级下·北京海淀·阶段练习）分解因式：a4?4

【变式4-3】（2024八年级下·上海·期中）多项式a2?b2+2a添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将a2和

【题型5利用因式分解求值】

【例5】（2024八年级下·山东淄博·期中）若m2=2n+2021，n2=2m+2021m≠n

【变式5-1】（2024八年级下·湖南衡阳·期中）长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则a3b+ab

【变式5-2】（2024八年级下·广东肇庆·开学考试）若a?b=1，则代数式a2?b

【变式5-3】（2024八年级下·福建宁德·阶段练习）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，则a4

【题型6利用因式分解解决新定义问题】

【例6】（2024八年级下·福建厦门·期中）定义：关于x的多项式A和B，当x=m时，A的值记为a，当x=m?k时，B的值记为b，若存在整数k，对于任意的实数m，都有a=b，称多项式B是多项式A的衍生多项式，称k为衍生系数．

例如：x?2是x的衍生多项式，衍生系数为?2，

2x+2是2x的衍生多项式，衍生系数为1，

x?12是x2的衍生多项式