培优专题 圆的周长与弧长（解析版）.docx

培优专题圆的周长与弧长

圆的周长的意义及测量方法

1.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法

2.周长概念：围成圆的曲线的长是圆的周长。

圆周率的意义和圆的周长计算公式

1.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，这个数叫作圆周率，用字母π来表示，π读作/pai/”.人们后来发现圆周率是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际应用中一般只取它的近似值.我国数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人。

2.圆的周长与直径的关系：圆的周长:直径=圆周率.

注意：圆周率是一个近似数，不能说成：圆的周长:直径=3.14.

3.根据圆的周长与直径的关系推导圆的周长计算公式

（1）圆的周长直径=圆周率→圆的周长=直径×圆周率

（2）圆的周长=直径×圆周率

圆的直径=半径×2

圆的周长=

圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率.如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径,用d表示圆的直径,那么圆的周长计算公式是C＝πd或C＝2πr。

拓展注解

1.圆的周长与它的半径、直径的关系:

(1)圆的半径或直径扩大到原来的几倍,它的周长也扩大到原来的几倍。

(2)圆的半径或直径缩小到原来的几分之一,它的周长也缩小到原来的几分之一。

4.半圆的周长和圆的周长的一半

半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是或.

圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份，取其中一份的长度，圆的周长的一半的计算公式是或.

圆的周长计算公式的应用

应用一已知圆的半径,求圆的周长。

应用二已知圆的直径,求圆的周长。

应用三已知圆的周长,求圆的直径和半径。

弧和圆心角的概念

1.弧的有关概念

弧:圆上两点之间的部分称为弧,它是圆的一部分

半圆:圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫作半圆

劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧

优弧:大于半圆的弧叫作优弧

注意：弧是圆的一部分,是一段平滑的曲线

2.弧的读写法

弧用符号＂＂表示，如图，红色部分（右边）的弧是劣弧，记作，读作＂弧＂；蓝色部分（左边）的弧是优弧，记作，读作＂弧＂。

3.圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫作圆心角，如．

4．同一圆中，弧长与圆心角的对应关系

如图，右侧小于平角的（小于）是所对的圆心角，也称是圆心角（小于）所对的弧．同理，左侧大于平角的（大于）是所对的圆心角，也称是圆心角（大于）所对的弧．

弧长的计算公式

弧长是相应的圆周长的一部分，圆心角与周角之比等于弧长与圆周长之比，即.

如图，的圆心角所对应的弧长是圆周长的的圆心角所对应的弧长是圆周长的．反之，弧长是所在圆周长的几分之几，圆心角就是的几分之几．

如果用表示弧长，用表示圆心角的度数，那么弧长的计算公式是．

注意：决定弧长的有两个量：圆的半径和圆心角．它们增大和减小都直接关系到弧长的增大与减小，即弧长随着圆心角和半径的增大而增大，随着它们的减小而减小．

圆的周长

1．（2022秋?宝山区校级期末）在一个正方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积占整个正方形面积的

A． B． C． D．

【答案】

【分析】设正方形的边长是，则这个最大的圆的半径为，利用圆的面积和正方形的面积公式计算出相应的面积即可得解．

【解答】解：设正方形的边长是，则这个最大的圆的半径为，

正方形的面积为，

圆的面积为，

．

故选：．

【点评】本题考查了认识平面图形，根据正方形内最大的圆的特征明确圆的半径是解题的关键．

2．（2023秋?长宁区期末）已知两个圆的直径长的比为，那么这两个圆的周长的比是

A． B． C． D．

【答案】

【分析】用直径表示出两个圆的周长，再将式子进行相比，即可得到答案．

【解答】解：，

，

故选：．

【点评】本题考查了圆的周长，解题的关键是掌握圆的周长和比例的计算．

3．（2022秋?浦东新区校级期末）圆的半径扩大为原来的4倍，则

A．周长扩大为原来的16倍 B．周长扩大为原来的4倍

C．周长扩大为原来的2倍 D．周长不变

【答案】

【分析】根据题意，可设圆的半径为，那么根据圆的周长公式可计算出原来圆的周长与扩大后的圆的周长，最后再用扩大后的周长除以原来的周长，即可得到答案．

【解答】解：设原来圆的半径为，

圆的周长为：，

半径扩大为原来的4倍后，圆的半径为，

圆的周长为：，

周长扩大到原来的：；

答：周长扩大为原来的4倍．

故选：．

【点评】本题考查了圆的周长，解答此题的关键是设原来圆的半径，然后再根据圆的周长公式进行计算即可．

4．从甲地到乙地有，两条路线，这两条路线经过的路程相比较

A．路线远 B．路线远 C．同样远 D．无法确定

【答案】

【分析】设甲地到乙地的直线距离是，由圆周长