2018-2019学年高中一轮复习理数课时跟踪检测（六十五）逆变换与逆矩阵矩阵的特征值与特征向量.doc

课时跟踪检测（六十五）逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

1．(2018·南京、盐城一模)设矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(m,2,2,－3)))的一个特征值λ对应的特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2))，求m与λ的值．

解：由题意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(m,2,2,－3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2))＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2))，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－4＝λ，,2＋6＝－2λ，))解得m＝0，λ＝－4.

2．(2018·南通、扬州调研)设矩阵A满足Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,0,6)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,－2,0,3)))，求矩阵A的逆矩阵A－1.

解：因为A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,－2,0,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,0,6)))－1

＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,－2,0,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,－\f(1,3),0,\f(1,6))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,\f(1,2))))，

所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,2))).

3．(2018·常州高三期末)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,1,3,2)))，列向量x＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,7))，若Ax＝B，直接写出A－1，并求出x.

解：由A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,1,3,2)))，得到A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－1,－3,2))).

由Ax＝B，得x＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－1,－3,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,7))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2)).

也可由Ax＝B得到eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,1,3,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,7))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，,3x＋2y＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以x＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))

4．(2018·南京学情调研)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－2,1,－3)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,－1)))，设M＝AB.

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的特征值．

解：(1)M＝AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－2,1,－3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,－1)))＝eq