棱柱棱锥棱台的表面积和体积导学案.docx

8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学案

学习目标

1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式．

2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．

情境导入

前面我们从直观的角度初步认识了几种简单几何体，并且研究了构成这些几何体的基本元素之间的位置关系．下面我们将从度量的角度来学习如何计算这几种简单几何体的表面积和体积，同时进一步加深对这几种简单几何体的认识．

新知探究

知识点一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

问题引导

1.我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？

提示：长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示．

知识点总结

棱柱、棱锥、棱台的表面积

(1)多面体的表面积就是围成多面各个面的面积的和．

(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

典例探究

例1(1)已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是()

A．4eq\r(3) B．6eq\r(3)

C．8eq\r(3) D．12eq\r(3)

(2)一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则这个正四棱台的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.

变式训练

1．(1)已知正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为________．

(2)已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为eq\f(3,2)cm，求此正三棱台的表面积．

知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积

问题引导

2.一个长方体底面矩形的边长分别为a，b，侧棱长为c，则底面矩形的面积为S＝ab，它的体积为V＝abc＝Sc，由此猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？

知识点总结

几何体

体积

说明

棱柱

V棱柱＝Sh

S为棱柱的底面积，h为棱柱的高

棱锥

V棱锥＝eq\f(1,3)Sh

S为棱锥的底面积，h为棱锥的高

棱台

V棱台＝eq\f(1,3)h

(S′＋eq\r(S′S)＋S)

S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高

(1)棱锥的高是顶点到底面的距离，棱台的高是上、下底面的距离，要注意区分侧面的高．

(2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点．

(3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系．

典例探究

例2(链接教材P119习题T2)(1)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是()

A．18＋6eq\r(2) B．6＋2eq\r(2)

C．24 D．18

(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，求剩余部分的体积．

[延伸探究]

1．(变条件)本例(1)条件变为“正三棱台的上、下底面边长分别为20cm，30cm.且侧面积等于上、下底面积之和”，问题不变．

2．(变条件)若本例(2)中的正方体改为长方体，则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化？试证明你的结论．

变式训练

2．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为________．

思维提升

与多面体有关的组合体的表面积与体积

例3(1)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为()

A．eq\f(\r(7),8) B.eq\f(\r(43),24)

C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,27)

(2)(链接教材P115例2)司马迁在《史记·高祖本纪》中借刘邦之口赞美张良：“夫运筹策帷帐之中，决胜于千里之外．”帷帐又名帷幄，是古代行军打仗必备的帐篷．如图是一种帷帐的简易直观图，帐顶采用“五脊四坡式”，正脊平行于底面，四条斜脊长度均相等，帷帐主体部分可以看作一个长方体．若该帷帐主体部分长10，宽6，高4，帐顶部分正脊长4，斜脊长eq\r(34)，则它的体积为________．

变式训练

3．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸(单位：m)如图所示，浇制一个这样的预制件需要多少混凝土？(钢筋体积略去不计，精确到0.01m3)

课堂小结

1．知识网络

2．方法归纳

(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体