2024_2025新教材高中数学第一章直线与方程1直线的斜率与倾斜角学案苏教版选择性必修第一册.docVIP

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直线的斜率与倾斜角

新课程标准解读

核心素养

1.在平面直角坐标系中，结合详细图形，探究确定直线位置的几何要素

数学抽象

2.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经验用代数方法刻画直线斜率的过程，驾驭过两点的直线斜率的计算公式

直观想象

意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔．每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和着急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分．那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？

[问题]如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？

学问点一直线的斜率

对于直线l上的随意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，假如x1≠x2，则eq\f(y2－y1,x2－x1)是一个定值，我们将这个定值eq\f(y2－y1,x2－x1)称为直线l的斜率，即k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．

eq\a\vs4\al()

对斜率定义的理解

(1)并非全部直线都有斜率，当直线PQ垂直于x轴时，即x1＝x2时，直线l的斜率不存在；

(2)对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可以看做是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝eq\f(Δy,Δx)；

(3)直线l的斜率是一个定值，与P，Q的位置无关．

1．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为()

A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)

C．－2 D．2

解析：选A直线AB的斜率k＝eq\f(1－0,－1－1)＝－eq\f(1,2).

2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的斜率为1，则y＝()

A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)

C．－1 D．1

解析：选C由已知，得eq\f(y＋3,4－2)＝1.故y＝－1.

学问点二直线的倾斜角

1．倾斜角的定义

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线围着交点eq\a\vs4\al(逆)时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角，称为这条直线的倾斜角．

2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

3．倾斜角与斜率的关系

当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满意：k＝tan_α(α≠90°)．

1．每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？

提示：对．

2．已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？

提示：确定．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任始终线都有倾斜角，都存在斜率．()

(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.()

(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.()

(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

2．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是()

A．45° B．135°

C．45°或135° D．－45°

解析：选B作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.

3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)

C．1 D.eq\f(\r(2),2)

解析：选A由题意可知，直线l的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).

直线的斜率

[例1]经过下列两点的直线的斜率是否存在？假如存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

(1)A(2，3)，B(4，5)；

(2)C(－2，3)，D(2，－1)；

(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．

[解](1)存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.

(2)存在．直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－（－2）)＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.

(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.

eq\a\vs4\al()

利用斜率公式求直线的斜率应留意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x