直线的方程课件-高二上学期数学人教A版选择性.pptx

2.2直线的方程

点P0的坐标(x0，y0)满足关系式y－y0＝k(x－x0)吗?2.2.1直线的点斜式方程

由上述推导过程可知：(1)直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)；反过来，我们还可以验证。(2)坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每一个点都在直线l上.事实上，若点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足关系式y1－y0＝k(x1－x0)，则y1－y0＝k(x1－x0).

当x1=x0时，y1=y0，这时点P1与P0重合，显然有点P在直线l上；当x1≠x0时，有k=y1－y0，这表明过点P1，P0的直线的斜率为k.因为直线l1，l2的斜率都为k，且都过点P0，所以它们重合.所以，点P1在直线l上.由(1)(2)可得：坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的点一定在直线l上；直线l上任意一点的坐标一定满足关系式y－y0=k(x－x0).我们把方程y－y0=k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.

方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform).

当直线l的倾斜角为0°时(图2.2-2)，tan0°=0，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0=0，即y＝y0.

当直线l的倾斜角为90°时(图2.2-3)，由于tan90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0=0，即x＝x0.

例1直线经过点P(－2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线.

下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l过点P0(0，b)，这时P0是直线l与y轴的交点，代人直线的点斜式方程，得y－b＝k(x－0)，即y=kx＋b.我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距(intercept).截距是距离吗?

这样，方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式(slopeinterceptform).其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.

例2已知直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么?(2)l1⊥l2的条件是什么?分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现l1∥l2或l1⊥l2时，k1，k2与b1，b2应满足的关系.解：(1)若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1=k2，且b1≠b2，则l1∥l2.(2)若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.

由例2我们得到，对于直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b2，??

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?1???

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???4.判断下列各对直线是否平行或垂直：

2.2.2直线的两点式方程

由经过两点P1，P2的直线的斜率公式可以求出直线l的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题.

?当y2≠y1时，上式可写为?这就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式(two-pointform).

在P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中，如果x1=x2或y1=y2，则直线P1P2没有两点式方程，当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1.

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例4已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.

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直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率，这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画，在对直线的