高等数学管类-高职公共基础课.pptx

主讲人：

目录第二章微积方程 ?第一节微分方程的基本概念 ?第二节一阶微分方程 ?第三节几种二阶微分方程 ?第四节数学实验

第一节微分方程的基本概念像方程y′=2x或dydx=2x，含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，就称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.注意：微分方程中，未知函数和自变量可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现.微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶.例如：方程y′=2x是一阶微分方程；y″+4y=2x是二阶微分方程；y(4)+2y5-3y′′′=sinx是四阶微分方程.一般地，n阶微分方程的形式是其中x为自变量，y为未知函数，且y(n)一定要出现.例1某曲线通过点1,3，且在该曲线上任意点M（x,y）处的切线斜率为2x，求该曲线方程.解设所求曲线方程为y=f(x)，根据导数的几何意义有y′=2x或.

第一节微分方程的基本概念建立微分方程，重要的是要找出变量之间的函数关系，所以需要求解微分方程.在方程y′=2x或中，对方程两端同时求积分，可得y=x2+C，其中C为任意常数.当C为某一个确定的值时，就得到一个确定的函数，将这个函数代入微分方程后，方程两端恒等，称此函数为该微分方程的解.方程y=x2+C是由积分所得到的曲线族，是此微分方程的全部解，如果微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则此解称为该微分方程的通解.通解中应包含的任意常数的个数等于微分方程的阶数.为确定通解中任意常数所给的附加条件，叫做初始条件.确定了通解中任意常数后的解，称为微分方程的特解.例如x=1，y=3是初始条件，y=x2+c是y′=2x的通解，而y=x2+2是y′=2x的特解.

第二节一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y′)=0，其中，x为自变量，y为未知函数，y′为y对x的一阶导数.下面讨论几种特殊情况.形如的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程.将上式两端同时积分，得通解

第二节一阶微分方程?解(1)建立微分方程：依题意，当S=I时，有;(2)求微分方程的通解：分离变量，,两边同时积分，，解得通解，;(3)求微分方程的特解：将初始条件t=0时，y=5代入通解，得C=5，于是国民收入函数为，而储蓄函数和投资函数为.

第二节一阶微分方程在实际问题中，有些不是可分离变量的微分方程，但可经过变换将其化为可分离变量的方程.形如的一阶微分方程，称为齐次微分方程.例如，二、齐次微分方程

第二节一阶微分方程齐次微分方程的解法是通过引进变量，使之化为可分离变量的微分方程，然后求解.具体求解步骤：1．令，则y=xu，两边分别对x求导，得，2．3．分离变量为，4．两边同时积分得，即，则齐次微分方程的通解为最后将回代整理.二、齐次微分方程

第二节一阶微分方程例4求微分方程的通解.注意：如果函数中每一项关于x和y的指数和均相等，则必为齐次微分方程.

第二节一阶微分方程三、一阶线性微分方程形如的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中Px、Q(x)都是连续函数.当Q(x)≡0时有，称为所对应的一阶线性齐次微分方程.当Q(x)≠0时，称为一阶线性非齐次微分方程.

第二节一阶微分方程1．一阶线性齐次微分方程的通解三、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程y′+P(x)y=0是可分离变量方程，分离变量得两边积分后得通解公式为（C为任意常数）.解这是一阶线性齐次微分方程，而，代入通解公式得（C为任意常数）.例5求微分方程的通解.

第二节一阶微分方程1．一阶线性非齐次微分方程的通