专题10 立体几何中球的切接问题（6大题型）（原卷版）.docx

专题10立体几何中球的切接问题

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TOC\o1-1\h\u题型01外接球模型一：墙角模型 1

题型02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 2

题型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 3

题型04外接球模型四：垂面模型 4

题型05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 6

题型06内切球 8

题型01外接球模型一：墙角模型

【解题规律·提分快招】

外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

【典例训练】

一、单选题

1．（云南省昭通市普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟2024-2025学年高三上学期联考检测数学试题）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（???）

A． B． C． D．

3．（23-24高三下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

4．（23-24高三下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（????）

A． B． C． D．

5．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（???）

A． B． C． D．

题型02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型

【解题规律·提分快招】

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．

如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

【典例训练】

一、填空题

1．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为.

2．（23-24高三下·重庆荣昌·阶段练习）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为．

题型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型

【解题规律·提分快招】

外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

2．（24-25高三上·广东河源·期中）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（???）

A． B． C． D．

4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

5．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（???）

A． B． C． D．

6．（24-25高三上·河南·阶段练习）将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（???）

A． B． C． D．

题型04外接球模型四：垂面模型

【解题规律·提分快招】

外接球模型四：

1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△B