2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题4.5 因式分解章末八大题型总结(拔尖篇)(教师版).docx

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专题4.5因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）

【北师大版】

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【题型1利用整体思想分解因式】 1

【题型2利用拆项法分解因式】 6

【题型3利用添项法分解因式】 8

【题型4利用因式分解的结果求参数】 10

【题型5利用因式分解进行有理数的简算】 12

【题型6利用因式分解探究三角形形状】 14

【题型7与因式分解有关的探究题】 16

【题型8因式分解的应用】 22

【题型1利用整体思想分解因式】

【例1】（2024八年级下·山东东营·期中）[阅读材料]

因式分解：x+y2

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A

再将“A”还原，原式=x+y+1

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．

[问题解决]

(1)因式分解：1+4x?y

(2)因式分解：x2

(3)证明：若n为正整数，则代数式n+1n+2

【答案】(1)1+2x?2y

(2)x?3

(3)见解析

【分析】（1）用换元法设x?y=A，将原式化为1+4A+4A2，再利用完全平方公式得出1+2A2

（2）设x2?6x=B，则原式=B+9

（3）先计算n+1n+2

【详解】（1）解：令x?y=A，

原式=1+4A+4

=

=1+2x?2y

（2）令x2

则x

=B

=

=

=

=x?3

（3）n+1

=

=

=n

∵n为正整数，

∴n2

∴n+1n+2

即代数式n+1n+2

【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．

【变式1-1】（2024八年级下·山西运城·期中）（1）2a+b2

（2）a?b?2a?b

【答案】（1）3(a+b)(a?b)；（2）(a?b?1)2

【分析】（1）设A=2a+b,B=a+2b，先利用平方差公式进行因式分解，再将A,B换回去，计算整式的加减即可得；

（2）设N=a?b，先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解，然后将N换回去即可得．

【详解】解：（1）设A=2a+b,B=a+2b，

则原式=A

将A,B换回去得：原式=(2a+b+a+2b)2a+b?(a+2b)

=(3a+3b)(a?b)，

=3(a+b)(a?b)；

（2）设N=a?b，

则原式=NN?2

=N

=(N?1)

将N换回去得：原式=(a?b?1)

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．

【变式1-2】（2024八年级下·福建漳州·期中）(1)因式分解：x2

(2)因式分解：x+y?2xyx+y?2

(3)求证：多项式x+1x+2

【答案】(1)（1）x?2

(2)x?1

(3)见解析

【详解】（1）解：解法一：设x2

则原式=y+1

=

=y+42

=

=x?2

方法二：设x2

则原式=

=

=

=

=

=x?2

（2）解：设x+y=m，

则原式=

=

=

=

=

=

=x?1

（3）解：x+1

=x

设x2

则原式=

=

=

=x

∵x2

∴x+1x+2

∴多项式x+1x+2

【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．

【变式1-3】（2024八年级下·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式(a2+2a)(a2+2a+2)+1进行因式分解的解题思路：将“a2+2a”看成一个整体，令

解：设a2+2a=x，则原式

=x

=(x+1)

=a

问题：

(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；

②请你模仿以上方法尝试对多项式a2

(2)请你模仿以上方法尝试计算：

(1?2?3???2023)×(2+3+?+2024)?(1?2?3???2024)×(2+3+?+2023)．

【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为(a+1)4；②

(2)2024

【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．

（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；

②利用换元法进行因式分解即可；

（2）设a=1?2?3???2023，x=2+3+?+2024，则原式=ax?(a?2024)(x?2024)，整体代入计算即可．

【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；

设a2+2a=x，则原式

=x

=(x+1)

=a

=

=(a+1)

∴最后的结果为(a+1)4

②设a2

原式=x(x+8)+16

=x

=

=

=(a?2)

（2）设a=1?2?3???2023，x=2+3+?+2024，

则1?2