2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题5.2 分式的运算【八大题型】(教师版).docx

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专题5.2分式的运算【八大题型】

【北师大版】

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【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】 2

【题型2比较分式的大小】 4

【题型3分式的混合运算】 10

【题型4分式的化简求值】 14

【题型5分式加减的应用】 17

【题型6分式运算的规律探究】 21

【题型7分式中的新定义问题】 25

【题型8分式中的阅读理解类问题】 30

【知识点1分式的运算】

分式的乘除法法则：

1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：a

2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：a

3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab

4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。

注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.

分式的加减法则：

1）同分母分式：分母不变，分子相加减a

2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab

注：=1\*GB3①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;=2\*GB3②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。

【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】

【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2?x+1，其中A，B

【答案】6

【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)

【详解】解：∵6x3

∴6

∴6x

∴当x=0时，B+D=0①

当x=1时，A+B+3C+D=16

当x=?1时，3B?A

∵6x

即6

∴A+C=6④

联立①②③④解之得

A=C=3、B=?2、D=2，

∴A+B+C+D=6．

故答案为：6．

【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．

【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若3x?4(x?1)(x?2)=K

【答案】1

【分析】根据分式的加减和恒等关系即可求解．

【详解】解：原式变形，得

3x?4(x?1)(x?2)＝3k

∴3K＝3，4K＝4，

解得K＝1．

故答案为1．

【点睛】本题考查了分式的加减，解决本题的关键是恒等关系变形．

【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如3x2?7x+2x?1x+1

【答案】a=?1

【分析】先把分式恒等式去分母可得3x

【详解】解：3x

∴去分母可得：3x

∴3x

由恒等式可得：

a+b=?7a?b?3=2

解得：a=?1b=?6

【点睛】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．

【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：

若1?3xx2?1=Ax+1+

解：等式右边通分，得

A

根据题意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2

仿照以上解法，解答下题．

(1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中

(2)若12n?12n+1=a2n?1?b

(3)计算：11×3

【答案】(1)M=?1

(2)12，

(3)1010

【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；

（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；

（3）由11×3=12×

【详解】（1）解：等式右边通分，得

Mx+1

根据题意，得2M?N=1?3M?N=6，解之得M=?1

（2）解：等式右边通分，得

a2n?1

根据题意，得2a?2b=0a+b=1，解之得a=b=

故答案为：12，1

（3）解：1

=

=

=

=

=

故答案为【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【题型2比较分式的大小】

【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：

如果a?b0，那么ab；

如果a?b=0，那么a=b；

如果a?b0，那么ab．

（1）已知2xy0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较

（2）比较两数1999199820212020（3）对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则

【答案】(1)AB；(2)1999199820212020

【分析】用作差法求解．

【详解】(1)A?B=x

∵y0，∴y+20，∴yy+2

∵2xy，∴2x?y0，

∴2x?yyy+20