2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题5.2 分式的运算【八大题型】(学生版).docx

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专题5.2分式的运算【八大题型】

【北师大版】

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【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】 2

【题型2比较分式的大小】 2

【题型3分式的混合运算】 3

【题型4分式的化简求值】 4

【题型5分式加减的应用】 5

【题型6分式运算的规律探究】 6

【题型7分式中的新定义问题】 7

【题型8分式中的阅读理解类问题】 8

【知识点1分式的运算】

分式的乘除法法则：

1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：a

2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：a

3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab

4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。

注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.

分式的加减法则：

1）同分母分式：分母不变，分子相加减a

2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab

注：=1\*GB3①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;=2\*GB3②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。

【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】

【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2?x+1，其中A，B

【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若3x?4(x?1)(x?2)=K

【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如3x2?7x+2x?1x+1

【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：

若1?3xx2?1=A

解：等式右边通分，得

A

根据题意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2

仿照以上解法，解答下题．

(1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中

(2)若12n?12n+1=a2n?1?b

(3)计算：11×3

【题型2比较分式的大小】

【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：

如果a?b0，那么ab；

如果a?b=0，那么a=b；

如果a?b0，那么ab．

（1）已知2xy0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较

（2）比较两数1999199820212020（3）对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则

【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1

(1)当x0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；

(2)设y=3P?Q2

【变式2-2】（2023上·湖南常德·八年级常德市第七中学校考期中）(1)若a、b为正数，且ab，直接判断1a与1

(2)若a、b为正数，且a≠b，试比较ba

(3)若1a+1b=1

【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）已知b＞a＞0．

(1)比较大小：aba+1

(2)若c＞0，比较ab与a+c

(3)下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．

①若n＞m＞0，则m+2n+2

②若n＞m＞2，则m?2n?2

③若n＞m＞2，则m?2n?2

④若n＞m＞2021，则m+2022n+2022＞m?2021

【知识点2整数指数幂的运算】

1.整数负指数幂：a?n

2.若am=an，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则am=

【题型3分式的混合运算】

【例3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：

(1)3

(2)x?y

【变式3-1】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）计算a2a?b?a?b

【变式3-2】（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当x分别取?2023，?2022，?2021，…，?2，?1，0，1，12，1

A．?1 B．1 C．0 D．2023

【变式3-3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

x2

=x+3

=x?3

=2x?6

=2x?6?

=2x?6?2x+1

=?5

任务一：填空：

以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为：；

第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是；

任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：1a+1

【题型4分