2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题5.3 分式方程【十大题型】(教师版).docx

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专题5.3分式方程【十大题型】

【北师大版】

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【题型1分式方程的定义】 1

【题型2分式方程的一般方法】 3

【题型3换元法解分式方程】 6

【题型4裂项法解分式方程】 9

【题型5由分式方程有解或无解求字母的值】 12

【题型6由分式方程有增根求字母的值】 14

【题型7由分式方程有整数解求字母的值】 17

【题型8由分式方程解的取值范围求字母的范围】 20

【题型9分式方程的规律问题】 22

【题型10分式方程的新定义问题】 26

【知识点1分式方程】

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

【题型1分式方程的定义】

【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是（只填序号）

①ax+b2=5；②14(x+b)+2=x+53；③m+xa+2=m?xa；④2x2x?1

【答案】④⑤⑥⑦⑨

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．

【详解】①ax+b2

②14

③m+xa

④2x2x?1

⑤1+1

⑥a+bx

⑦1a

⑧x?ba

⑨x?nx+m

故答案为：④⑤⑥⑦⑨．

【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．

【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义．

【答案】1x?1

【分析】根据x=1时没有意义可知，当x=1时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可．

【详解】解：一个未知数是x且当x=1时没有意义的分式方程为1x?1=6(答案不唯一

故答案为：1x?1

【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键．

【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是(???)

A．x+25?3=3+x6; B．x?17+a=3?x;

【答案】D

【详解】根据分式方程的定义——分母中含有未知数的方程.故选D.

【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：

①23x2=1；②2π?x2=1；③23x=x；④1x?2+3=x?1x?2

【答案】①②⑥⑦③④⑤⑨

【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．

【详解】解：∵①23x2=1为整式方程；②2π?x2=1为整式方程；③23x=x为分式方程；④1

∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．

故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．

【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程．

【知识点1解分式方程】

分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。

分式方程解方程的步骤：

=1\*GB3①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程

=2\*GB3②解整式方程

=3\*GB3③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程

=4\*GB3④作答

【题型2分式方程的一般方法】

【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：

①x

②1

【答案】①x=?2，②x=2是原方程的增根，原方程无解

【分析】①观察可得最简公分母是x(x?3)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．

②观察可得最简公分母是(x?2)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．

【详解】解：①方程两边同乘x(x?3)，得

x2

解得x=?2

检验x=?2时，x(x?3)≠0

∴x=?2是原方程的解．

②整理得1

方程两边同乘(x?2)，得

1+1?x=?4(x?2)，

?x+4x=8?2，

解得x=2

检验：x=2时x?2=0，

∴x=2是原方程的增根，原方程无解．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．

【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：

(1)2x?3

(2)xx?1

【答案】(1)x=9

(2)原方程无解

【分析】（1）先去分母，解方程，再进行检验即可解答；

（2）先去分母，解方程，再进行检验即可解答．

【详解】（1）解：原方程得：2x=3x?