上海市市东实验学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）.docx

上海市市东实验学校

2024—2025学年度第二学期3月月考

高二年级数学试卷

（完卷时间：120分钟，满分150分）

一?填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1.直线的倾斜角为_____

【答案】

【解析】

【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.

【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则，

所以.

故答案为：

2.抛物线的焦点坐标是_______．

【答案】

【解析】

【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.

【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.

3.双曲线的渐近线方程是________.

【答案】

【解析】

【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．

【详解】已知双曲线

令：=0

即得到渐近线方程为：y=±2x

故答案为y=±2x

【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.

4.函数的驻点为__________．

【答案】1

【解析】

【分析】利用导数的四则运算法则对函数求导，令，求出满足题意的即可.

【详解】设函数，则的定义域为，

求导可得，令，解得或（舍去）.

所以，函数驻点为1.

故答案为：1.

5.已知函数，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用复合函数求导法则求出导数，代入求值即可.

【详解】由函数，求导可得，

所以.

故答案为：.

6.已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________.

【答案】##

【解析】

【分析】应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率.

【详解】由题设，则，

所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为.

故答案为：

7.设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率.

【详解】由题设及图知，且，，

所以，则，

所以，即，可得（负值舍）.

故答案为：

8.圆关于直线对称，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题设得直线过圆心，进而得，再结合基本不等式常数“1”的代换方法计算即可求解..

【详解】圆的圆心坐标为，

因为圆关于直线对称，

则直线过圆心，所以，则，

所以，

当且仅当时，即当时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

9.已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为__________.

【答案】3

【解析】

【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值．

【详解】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为，

如图：由抛物线的定义可知：，

圆心，半径为，

当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值，

所以最小值为：．

故答案为：3．

10.若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果.

【详解】因为，所以，

即，令，所以，

又，所以在上单调递增，所以，

即，令，所以，

令，解得，令，解得，所以在上单调递增，

在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果.

11.椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小.

现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______.

【答案】

【解析】

【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距.

【详解】如下图所示：

不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接，

延长、交于点，

由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点，

又因为为的中点，则，

所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故，

由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射