2024_2025学年新教材高中数学第四章概率与统计2.4第2课时离散型随机变量的方差学案新人教B版选择性必修第二册.docVIP

PAGE

PAGE10

第2课时离散型随机变量的方差

1．离散型随机变量的方差、标准差

(1)定义：假如离散型随机变量X的分布列如表所示

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－E\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))))eq\s\up12(2)p1＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2－E\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))))2p2＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xn－E\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xi－E（X）))eq\s\up12(2)pi称为离散型随机变量X的方差，一般地，eq\r(D（X）)称为离散型随机变量X的标准差．

(2)意义：离散型随机变量的方差和标准差都刻画离散型随机变量相对于均值的离散程度(或波动大小).

(3)性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．

离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？

提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的改变而改变；

(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而改变的．

2．两点分布与二项分布的方差

X

X听从两点分布

X～B(n，p)

D(X)

p(1－p)

(其中p为胜利概率)

np(1－p)

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()

(2)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．()

(3)若a是常数，则D(a)＝0.()

提示：(1)×.离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定．

(2)×.单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．

(3)√.离散型随机变量的方差刻画离散型随机变量相对于均值的波动大小．

2．(教材二次开发：练习改编)已知X的分布列为

X

－1

0

1

P

0.5

0.3

0.2

则D(X)等于()

A．0.7B．0.61C．－0.3D．0

【解析】选B.E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.

3．已知随机变量X，D(X)＝eq\f(1,9)，则X的标准差为________．

【解析】X的标准差eq\r(D（X）)＝eq\f(1,9)＝eq\f(1,3).

答案：eq\f(1,3)

类型一求离散型随机变量的方差(标准差)(数据分析、数学运算)

定义法求方差(标准差)

【典例】从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差．

【思路导引】先列出随机变量X的分布列，再用定义求出方差即可．

【解析】由题意，X的可能取值为0，1，2，

P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))，k＝0，1，2.X的分布列为：

X

0

1

2

P

eq\f(1,5)

eq\f(3,5)

eq\f(1,5)

所以X的均值为E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.所以X的方差为D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).

本例考查求随机变量的方差，同时考查数学建模与数学运算的核心素养．

本例条件不变，若设随机变量Y表示所选3人中男生的人数，求Y的方差．

【解析】由题意知，Y的可能取值为1，2，3，

P(Y＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))，k＝1，2，3，

Y的分布列为：

Y

1

2

3

P

eq\f(1,5)

eq\f(3,5)

eq\f(1,5)

所以Y的均值为E(Y)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\