2024_2025学年新教材高中数学第7章概率4事件的独立性学案北师大版必修第一册.docVIP

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事务的独立性

学习目标

核心素养

1．结合有限样本空间，了解两个随机事务独立性的含义．(难点、易混点)

2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点)

1．通过对事务独立性概念的学习，培育数学抽象素养．

2．通过计算相互独立事务的概率，培育数学运算素养.

1．当事务A，B满意什么条件时，事务A与B相互独立？

2．相互独立事务有哪些性质？

3．如何求相互独立事务同时发生的概率？

4．相互独立事务与互斥事务的区分是什么？

相互独立事务的概念和性质

定义

事务A(或B)是否发生对事务B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事务叫作相互独立事务

计算

公式

两个相互独立事务同时发生的概率，等于这两个事务发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)

性质

假如两个事务相互独立，那么把其中一个换成它的对立事务，这样的两个事务仍旧相互独立．即当事务A，B相互独立时，则事务A与事务eq\x\to(B)相互独立，事务eq\x\to(A)与事务B相互独立，事务eq\x\to(A)与事务eq\x\to(B)相互独立

(1)事务A与B相互独立可以推广到n个事务的一般情形吗？

(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？

[提示](1)对于n个事务A1，A2，…，An，假如其中任何一个事务发生的概率不受其他事务是否发生的影响，则称事务A1，A2，…，An相互独立．

(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：假如事务A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事务同时发生的概率等于每个事务发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An

1.袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，假如“其次次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事务A与B，A与C的关系是()

A．A与B，A与C均相互独立

B．A与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥

D．A与B互斥，A与C相互独立

A[由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对其次次摸球的结果没有影响，故事务A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]

2.两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是()

A．0.56 B．0.92

C．0.94 D．0.96

C[∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.]

类型1相互独立事务的推断

【例1】推断下列各对事务哪些是互斥事务，哪些是相互独立事务．

(1)掷一枚骰子一次，事务M：“出现的点数为奇数”；事务N：“出现的点数为偶数”；

(2)掷一枚骰子一次，事务A：“出现偶数点”；事务B：“出现3点或6点”．

[解](1)∵二者不行能同时发生，∴M与N是互斥事务．

(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事务A＝{2,4,6}，事务B＝{3,6}，事务AB＝{6}，

∴P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)．

故事务A与B相互独立．当“出现6点”时，事务A，B可以同时发生，因此A，B不是互斥事务．

推断事务是否相互独立的方法

(1)定义法：事务A，B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B)．

(2)利用性质：A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事务A：“甲击中目标”，事务B：“乙击中目标”，则事务A与事务B()

A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥

A[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事务A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事务A与B可能同时发生，所以事务A与B不是互斥事务．]

类型2相互独立事务概率的计算

【例2】甲、乙、丙3位高校生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被选中互不影响．

(1)求3人同时被选中的概率；

(2)求3人中至少有1人被选中的概率．

[解]设甲、乙、丙能被选中的事务分别为A，B，C，则P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P