解直角三角形第3课时解直角三角形在视角问题中的应用课件华东师大版九年级数学上册.pptx

24.4.3解直角三角形

--解直角三角形在视角问题中的应用;给出解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，已知两个元素（其中至少一个是边），求其他元素的过程叫做解直角三角形。

引导学生分析为什么已知的两个元素中至少有一个是边：

如果已知的两个元素都是角，由于三角形的内角和是\(180^{\circ}\)，直角三角形中直角是固定的\(90^{\circ}\)，那么仅知道两个锐角，三角形的大小和形状是不确定的，无法求出三边的长度。

而当已知至少一条边和其他一个元素时，就可以利用勾股定理、锐角三角函数等知识求出其他元素。

分类讨论解直角三角形的类型：

类型一：已知斜边和一直角边

例如，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=5\)，\(a=3\)，求\(b\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。

先根据勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。

再根据\(\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}\)，利用计算器求出\(\angleA\approx36.9^{\circ}\)。

最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx53.1^{\circ}\)。

类型二：已知斜边和一锐角

如在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=10\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(a\)，\(b\)，\(\angleB\)。

因为\(\sinA=\frac{a}{c}\)，所以\(a=c\sinA=10\times\sin30^{\circ}=5\)。

又因为\(\cosA=\frac{b}{c}\)，所以\(b=c\cosA=10\times\cos30^{\circ}=5\sqrt{3}\)。

由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。

类型三：已知一直角边和一锐角

已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=6\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleA\)。

因为\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\)，则\(\angleA=\angleB\)，所以\(a=b=6\)。

再根据勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)。

类型四：已知两直角边

若在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=4\)，\(b=3\)，求\(c\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。

首先由勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)。

然后\(\tanA=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}\)，利用计算器求出\(\angleA\approx53.1^{\circ}\)。

最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx36.9^{\circ}\)。

（三）例题解析（15分钟）

例1：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=\sqrt{3}\)，\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，解这个直角三角形。

分析：已知\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因为\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。

由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleA=90^{\circ}-6