2024−2025学年湖南省岳阳市高二上学期开学摸底考数学检测试题合集2套（附答案）.docx

2024?2025学年湖南省岳阳市高二上学期开学摸底考数学检测试题（一）

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（????）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（????）

A．或 B．或

C． D．

4．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（????）

A． B．

C． D．

5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（????）

A． B．

C．或 D．或

6．已知的内角的对边分别为，若，，则（????）

A．6 B．5

C．4 D．3

7．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（????）

??

A． B． C． D．

8．已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面所成的角都是的直线l，则这样的直线l有且仅有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

二、多选题（本大题共4小题）

9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

10．已知，，且，则（????）

A． B．

C． D．

11．若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设则（????）

A． B． C． D．

12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（????）

??

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形

B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4

C．勒洛四面体的体积是

D．勒洛四面体内切球的半径是

三、填空题（本大题共4小题）

13．=.

14．若直线与直线互相垂直，则.

15．正四棱锥中，，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为.

16．命题：“”是真命题，则实数的取值范围为.

四、解答题（本大题共6小题）

17．已知的三个顶点是，，.求：

(1)边上的中线所在直线方程；

(2)边上的高所在直线方程.

18．如图，在中，，为的中点，与交于点.设，.

????

(1)试用表示；

(2)求.

19．如图，在四棱锥中，底面是菱形.

??

(1)若点是的中点，证明：平面；

(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.

20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面，，为的中点，点在棱上．

??

(1)若，求三棱锥的体积；

(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

21．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

??

(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；

(2)求甲获得冠军的概率；

(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

22．如图，在中，，的角平分线交于，．

??

(1)求的取值范围；

(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数．

参考答案

1．【答案】C

【解析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.

【详解】因为直线的斜率为，所以.

故选C.

2．【答案】A

【分析】根据复数的除法求得z，确定其对应的点，即可得答案.

【详解】由题意得，，

故z对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第一象限，

故选A.

3．【答案】B

【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.

【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；

当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.

故选B.

??

4．【答案】B

【分析】根据垂直关系，结合补体法，将四棱锥补成正方体，利用正方体的外接球的半径的计算方法，即可求解.

【详解】由题意，两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就是三棱锥的外接球，

，表面积，

????

故选B.

5．【答案】D

【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.

【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，

又因为直线过点，所以直