2024_2025学年新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.3第2课时二项式系数的性质杨辉三角和二项式定理的应用学案含解析新人教B版选择性必修第二册.docVIP

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第2课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用

学习任务

核心素养

1．驾驭二项式系数的性质及其应用．(重点)

2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点)

3．驾驭二项式定理的应用．(难点)

1．通过学习二项式系数的性质，培育逻辑推理的素养．

2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养．

我国古代数学的很多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形说明(a＋b)n的绽开式的各项系数．

问题：视察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？

[提示]利用组合数性质Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m＋1,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)视察二项式系数的性质．

学问点1二项式系数的性质

(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；

(2)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(k,n)＋…＝2n－1．

即①二项绽开式的二项式系数的和等于2n．

②奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n－1．

1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的绽开式中，各项系数的和与各二项式系数的和的比值为64，则n等于()

A．4B．5C．6D．7

C[令x＝1，得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则eq\f(4n,2n)＝64，解得n＝6．]

学问点2杨辉三角具有的性质

(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；

(2)从第三行起，不在两端的随意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．

(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，Ceq\o\al(2,n)，…，Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)，是先渐渐变大，再渐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．

2．在(a＋b)10二项绽开式中与第3项二项式系数相同的项是()

A．第8项 B．第7项

C．第9项 D．第10项

C[由二项式绽开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]

3．(对接教材P32尝试与发觉)视察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________．

1

121

1331

14a41

15101051

6[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6．]

类型1求绽开式的系数和

【例1】设(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021·x2021(x∈R)．

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2021的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值；

(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|的值．

[思路点拨]先视察所求式子与绽开式各项的特点，利用赋值法求解．

[解](1)令x＝1，得

a0＋a1＋a2＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1． ①

(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2021＝32021． ②

①－②得

2(a1＋a3＋…＋a2021)＝－1－32021，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝eq\f(－1－32021,2)．

(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2021)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2021)·(2x)r，

∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2021|

＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021．

1．解决二项式系数和问题思维流程

2．“赋值法”是解决二项绽开式中项的系数常用的方法，依据题目要求，敏捷赋给字母不同值．一般地，要使绽开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得全部项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．

eq\o([跟进训练])

1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6．

[解](1)令x＝0，则a0＝－1；

令x＝