上海市嘉定区第一中学2024−2025学年高二下3月月考 数学试题（含解析）.docx

上海市嘉定区第一中学2024?2025学年高二下3月月考数学试题

一、填空题（本大题共12小题）

1．函数y=2x在x=

2．若x＜0时，指数函数y=a-1x

3．若向量a=1,-3是直线l

4．若方程x2k-4+y26-k

5．若关于x的不等式x+1+x-2＞a对于一切实数

6．若fx=x+1x在13,m

7．若，则.

8．已知点P-22,2在抛物线C:y2=2p

9．已知点A-1,0，B1,0，若直线l：kx-y=0上存在点

10．若方程lnx-kx=0

11．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点Px1,y1，Qx2,y2之间的“曼哈顿距离”为dP,Q=x1-x2+y1-y2

12．已知复数z1,z2满足z1+1-i+z1

二、单选题（本大题共4小题）

13．x∈R，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2

A．x+1x B．

C．x2+4x2

14．若函数，则等于（???）

A． B．0 C．1 D．2

15．如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（???）

A． B．

C． D．

16．已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a＞0,b＞0，圆C:x-1

A．1,95 B．0,113 C．1

三、解答题（本大题共5小题）

17．（1）已知关于x，y的方程组3x-y=2

（2）已知a＞1，b＞1，M=a2a-1+

18．已知函数fx=x2+ax-

(1)求实数a，b的值；

(2)若对?x∈1,2，

19．设m为实数，已知函数fx=

(1)求m的值；

(2)求证：fx

20．汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面.这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质.如图所示，不妨设抛物线y2=4x

(1)求抛物线上任一点Px1,y1处的切线PQ的方程，其中

(2)证明：∠FPQ=∠

21．已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．

(1)若，求线段中点到轴的距离；

(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；

(3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率．

参考答案

1．【答案】-12/

【详解】增量为f2+

函数的平均变化率为-d2

而lim-12+d

2．【答案】1,

【详解】由指数函数的性质可得0＜

解得1＜a

3．【答案】π6

【详解】因为向量a=1,-

所以直线l的斜率k=-1-31=3

则k=tanα=3

所以直线l的倾斜角α=π

4．【答案】-∞

【详解】由方程x2k-4+

所以k-4＜06-k＞0，解得

5．【答案】-∞

【详解】x?-1时，

-1＜x＜2

x?2时，x

则x+1

故a＜

故实数a的取值范围是-∞,

6．【答案】3

【详解】由fx=x+1x=103可得

由对勾函数的单调性可知，函数y=x+1x在0

当13＜m?1时，函数fx在

当m＞1时，函数fx在13,

由题意可得fm?f3=

综上，13＜m?3，因此，实数m

7．【答案】

【详解】由题意：，

所以.

8．【答案】92

【详解】因为点P-22,2

所以4=-42p

所以抛物线C:y2=-

所以点P到抛物线C焦点的距离是d=2

9．【答案】-4

【详解】解：设点Px,

∵点A-1,0，B1,

∴x+12+y2=2×x-

又∵直线l:kx-y=0

∴圆x-532+

∴圆心53,0到直线l的距离d=53kk

10．【答案】k=1e或

【详解】由lnx-kx=

记fx=lnxx

故当x∈e,+∞时，f

当x∈0,e时，f′

又fe=1e，且当x→+∞,

故作出fx

故lnx-kx=0有且仅有一个实数，则

11．【答案】10

【详解】由dM,F1+dM,

将-x代换x，方程不变，可知曲线C关于y

将-y代换y，方程不变，可知曲线C关于x

根据x，y对称性可知，只需讨论x?0，y

此时6=x+2+