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北京市景山学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足＝i，则z的虚部为（????）

A．4i B．4 C．1 D．﹣1

3．已知向量若，则（????）

A． B．1 C． D．4

4．已知且满足，则下列关系式恒成立的是（????）.

A． B．

C． D．

5．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则（????）

A． B．1 C．2 D．6

6．已知角是的内角，则“”是“”的（????）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

8．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（???）

A． B．1 C．3 D．2

9．已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

10．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（????）

A．15 B．16 C．17 D．18

二、填空题

11．若二项式展开式中的常数项为160，则．

12．设，分别是双曲线的左，右焦点．则双曲线的渐近线为，若点在双曲线上，且，则．

13．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱锥的体积是．

14．如图，是边长为1的正三角形．曲线，，是分别以，，为圆心，，，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，…，如此下去，可以得到一个优美的螺旋线.那么曲线的长度为，画到第八圈，得到的螺旋线的总长度为．

15．已知曲线．给出下列三个结论：

①曲线关于轴对称；

②曲线恰好经过6个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；

③曲线上任意一点到原点的距离都不超过；

④曲线所围成的区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是．

三、解答题

16．在△ABC中，已知

(1)求角A；

(2)若求的面积．

17．无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：

测试

结果真实

路况

传感器1

传感器2

传感器3

有障碍

无障碍

无法识别

有障碍

无障碍

无法识别

有障碍

无障碍

无法识别

无障碍

4

15

1

1

15

4

8

12

0

有障碍

40

10

10

45

5

10

45

10

5

假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．

(1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；

(2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；

(3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）

18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，为上一点，且满足．

(1)设平面平面，求证：；

(2)若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知．求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：平面平面；

条件②：；

19．已知椭圆，且过，两点．

(1)求的方程；

(2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点与点关于点对称．证明：直线恒过点．

20．设函数，其中．函数是函数的导函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；

(3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．

21．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．

（