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复变函数和实变函数的比较

数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。

一、复变函数和实变函数的定义

复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。

复变函数的定义为：设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则f有唯一的或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=f(z)。

而实变函数的定义为：设A是一个实数集,如果对A中的任一实数x，通过一个确定的规则f有唯一的实数y与之对应，就说在实数集A上定义了一个实变函数，记为y=f(x)。

二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。

二、复变函数和实变函数极限过程对比

复变函数在某一点的极限定义为：

设函数w=f(z)在点z0的某一去心邻域U(z0)内有定义，A为一复常数，若任给ε0，总存在δ0，使得当0z-z0δ（即z∈U(z0)）时，都有fz-Aε（即fz∈U(A,ε)

而实变函数在某一点的极限定义为：

设函数y=f(x)在点x0的某一去心邻域U(x0)内有定义，A为一实常数，若任给ε0，总存在δ0，使得当0x-x0δ（即x∈U(x0)）时，都有fx-Aε（即fx∈U(A,ε)

两个定义虽然从文字叙述上看完全类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数的极限过程是当自变量在实数范围内趋近于指定的x0时，其对应的函数值无限趋近于已知确定的某个实数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在一维直线上进行的。而复变函数的极限是当自变量在复数范围内趋近于指定的z0

三、复变函数的解析性和实变函数的可微性

解析函数是复变函数论研究的主要对象，下面先给出几个相关的定义：

定义1.1设函数w=f(z)在点z0的领域内（或含z0的区域

lim

存在，则称此极限为函数f(z)在点z0的导数，记为

定义1.2若函数w=f(z)在点z0可导，则称f(z0

df|z=z0

即

dw

特别地，当fz=z

dw|

即

f

由此可见，在复变函数中f(z)在点z0可导与f(z)在点z

定义1.3若函数w=f(z)在区域D内可微，则称f(z)为区域D内的解析函数（或全纯函数、正则函数）。此时也称f(z)在区域D内解析。

对于微分的性质，实变函数和复变函数有以下三大点的不同:

1.微分中值定理

微分中值定理是微分学中的重要内容之一，常用的有Rolle中值定理及Lagrange中值定理，随着数域的扩充，微分中值定理在复数域中不成立。

例1.设w=fz=ez，函数fz在z平面处处解析，且ez具有周期性，2kπi,k∈Z是其周期。当给定闭区域D,?z1,

2.解析函数零点的孤立性

区域D内每个点都可微的复变函数称为区域D内的解析函数。在复变函数论中，解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质截然相反。

例2.设函数fx=x2sin

解：（1）由于

lim

故fx在x=0可微且f0=0。于是

（2）令fx=0可得其全部零点是0,±

观察这些零点发现，对于fx的零点x=0而言，fx的零点x=±1nπ,n=1,2,3,?，以x=0为聚点，也就是说在点x=0的任意领域内总有异于x=0的fx

3.解析函数的无穷可微性

在复变函数中，若fx在区域D内解析，则fz在区域D内具有各阶导数，并且它们也在区域

实变函数中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更不必说高阶导数。

例3.设函数fx=x2sin

解：因为

lim

故fx在x=0可微且f

于是f

又limx→0fx=limx→0(2x2sin1x

四、复变函数和实变函数的积分

从积分的定义来看，实函数和复函数的积分都是分割、求和、取极限等步骤，相同之处是：两种函数的运算性质及积分公式。不同之处是：实函数的积分有明确的、易理解的几何意义，而复函数的积分实质上是一种线积分，积分路径C是区域D内以A为起点B为终点的一条有向光滑的曲线，没有通俗明了的几何意义。而且积分的值不仅和起点和终点有关，一般情况下也与积分路径有关。

对于牛顿—莱布尼茨公式，在形式上对两者来说都是一致的，但又有明显的区别：对一元实函数fx而言，只要fx在a,b上连