高三复习函数的单调性的题型分类及解析.docxVIP

高三复习函数的单调性的题型分类及解析

选择题

1.函数\(f(x)=x^{2}2x\)的单调递增区间是（）

A.\((\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((\infty,2]\)D.\([2,+\infty)\)

答案：B

解析：对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，其对称轴为\(x=\frac{b}{2a}\)。在函数\(f(x)=x^{2}2x\)中，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=0\)，对称轴为\(x=\frac{2}{2\times1}=1\)，因为\(a=10\)，函数图象开口向上，所以单调递增区间是\([1,+\infty)\)。

2.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递减的是（）

A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\log_{2}x\)

答案：C

解析：选项A，幂函数\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，根据幂函数性质，当\(\alpha=\frac{1}{2}0\)时，在\([0,+\infty)\)上单调递增；选项B，指数函数\(y=2^{x}\)，因为底数\(21\)，所以在\(R\)上单调递增；选项C，对数函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)，底数\(0\frac{1}{2}1\)，所以在\((0,+\infty)\)上单调递减；选项D，对数函数\(y=\log_{2}x\)，底数\(21\)，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

填空题

1.函数\(f(x)=\frac{1}{x1}\)的单调递减区间是______。

答案：\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)

解析：对函数\(f(x)=\frac{1}{x1}\)求导，根据求导公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^{2}}\)，这里\(u=1\)，\(u^\prime=0\)，\(v=x1\)，\(v^\prime=1\)，则\(f^\prime(x)=\frac{0\times(x1)1\times1}{(x1)^{2}}=\frac{1}{(x1)^{2}}0\)，且\(x\neq1\)，所以单调递减区间是\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)。

2.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^{2}+ax,x\leqslant1\\ax1,x1\end{cases}\)，若\(f(x)\)在\(R\)上是增函数，则实数\(a\)的取值范围是______。

答案：\([2,3]\)

解析：因为\(f(x)\)在\(R\)上是增函数，对于\(y=x^{2}+ax\)，其对称轴为\(x=\frac{a}{2}\)，在\(x\leqslant1\)时单调递增，则\(\frac{a}{2}\geqslant1\)，即\(a\geqslant2\)；同时在\(x=1\)处，\(1^{2}+a\times1\leqslanta\times11\)恒成立；且\(y=ax1\)在\(x1\)时单调递增，则\(a0\)。综合可得\(\begin{cases}\frac{a}{2}\geqslant1\\1+a\leqslanta1\end{cases}\)，解得\(2\leqslanta\leqslant3\)。

判断题

1.函数\(y=\frac{1}{x^{2}}\)在\((\infty,0)\)上单调递增。（）

答案：正确

解析：令\(u=x^{2}\)，则\(y=\frac{1}{u}\)。当\(x\in(\infty,0)\)时，\(u=x^{2}\)单调递减，而\(y=\frac{1}{u}\)，根据复合函数“同增异减”原则，外层函数\(y=\frac{1}{u}\)在\(u0\)时单调递减，所以\(y=\frac{1}{x^{2}}\)在\((\infty,0)\)上单调递增。

2.函数\(y=\log_{3}(x^{2}2x)\)的单调递增区间是\((1,+\infty)\)。（）

答案：错误

解析：先求函数\(y=\log_{3}(x^{2}2x)\)的定义域，由\(x^{2}2x0\)，解得\(x0\)或\(x2\)。令\(u=x^{2}2x=(x1)^{2}1\)，其对称轴为\(x=1\)，在\