湖北省武汉市武汉经济技术开发区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）.docx

湖北省武汉市武汉经济技术开发区第一中学2024?2025学年高二下学期3月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．若复数满足，则的虚部为（???）

A． B． C．1 D．i

2．已知事件A，B相互独立，且，，则（???）

A． B． C． D．

3．若，，则等于（????）

A．5 B．－5 C．7 D．－1

4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（????）

A． B．

C． D．

5．已知为等比数列的前n项和，，，则（????）．

A．30 B． C． D．30或

6．若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（????）

A． B． C．4 D．

7．数列满足，，则的值为（???）

A．3 B． C．2 D．1

8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知数列的前项和，则（????）

A． B．

C．有最小值 D．数列不是等差数列

10．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（???）

A． B．

C． D．

11．已知函数，则下列结论正确的是（???）

A．若在上单调递减，则的最大值为1

B．当时，

C．当时，

D．存在直线，使得与的图象有4个交点

三、填空题（本大题共3小题）

12．设函数的导数为，若，则.

13．设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是．

14．已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知函数.

（1）求函数的导函数；

（2）求过点且与曲线相切的直线方程.

16．记数列{an}的前n项积为Tn，且．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和Sn．

17．如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，点为棱上一个动点．

(1)求证：；

(2)若平面平面；

（i）求直线与平面所成角的正弦值；

（ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

18．已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列.

19．已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调区间及极值；

（2）若，求实数的取值范围.

参考答案

1．【答案】A.

【详解】由，可得，所以，所以，

所以的虚部为.

故选A.

2．【答案】C

【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立，

所以，

则.

故选C.

3．【答案】B

【详解】因为，，两式相加得，

解得；两式相减得，解得，

所以，

故选B.

4．【答案】A

【详解】因为的顶点，，

所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率，

所以线段的垂直平分线的斜率，

则线段的垂直平分线的方程为，即，

因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，

所以的欧拉线方程为.

故选A.

5．【答案】A

【详解】由得，则等比数列的公比，

则得，令，则即，

解得或（舍去），，则．

故选A．

6．【答案】A

【详解】由存在，使得不等式成立得：

在有解，

令，则，

故时，，此时函数是单调递减，

时，，此时函数单调递增，

故时，，时，，

又，

故函数的最大值是，

，

故选A．

7．【答案】C

【详解】由已知得：，，，，…，即有，

，

故选C.

8．【答案】A

【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，

可得，

即，

构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，

所以，可得，则，

即，其中，令，其中，

则，当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，解得.

综上，

故选A.

9．【答案】AC

【详解】因为，所以，故A正确；

当时，，

当时，也满足上式，所以数列的通项公式为，

所以，

所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误；

因为，所以当时，；当时，，

所以有最小值或，故C正确；

因为，所以，

所以，所以数列是等差数列，故D错误.

故选AC.

10．【答案】ACD

【详解】设，则，

所以在上单调递减，

对于A，由，即，即，故A正确；

对于B，由，即，又，则，故B错误；

对于C，由，即，即，故C正确；

对于D，由，即，即，故D正确.

故选ACD.

11．【答案】BCD

【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确；

当时，，即.