2024_2025学年新教材高中数学第7章统计案例§1一元线性回归学案北师大版选择性必修第一册.docVIP

PAGE

§1一元线性回来

1.1直线拟合

1.2一元线性回来方程

学习任务

核心素养

1．通过实例驾驭回来分析的基本思想方法．(难点)

2．会利用最小二乘法求线性回来方程，并能用线性回来方程进行预报．(重点)

通过线性回来方程的应用，培育数学建模与数据分析素养．

圆的周长l与半径r是什么关系？父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？这两个问题有什么不同？

1．变量之间的相关关系

(1)变量之间有肯定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y与身高x．一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有肯定的随机性．

(2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将成对数据(xi，yi)所对应的点描出来，这些点构成的图称为散点图．

(3)在两个变量X和Y的散点图中，若全部点看上去都在一条光滑的曲线旁边波动，此时就可以用这条曲线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为曲线拟合；若全部点看上去都在一条直线旁边波动，此时就可以用这条直线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为直线拟合．

2．最小二乘法

假如有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do7(i＝1))[yi－?a＋bxi?]2来刻画这些点与直线Y＝a＋bX的接近程度，使得上式达到最小值的直线Y＝a＋bX就是要求的直线，这种方法称为最小二乘法．

3．线性回来方程

假设成对数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回来方程为Y＝a＋bX，则

eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do7(i＝1))?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\o(∑,\s\up8(n),\s\do7(i＝1))?xi－\x\to(x)?2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)．

在线性回来方程Y＝a＋bX中，当一次项系数b为正数时，其散点图有什么特征？

[提示]在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．

1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正方体的体积V与其边长a是函数关系． ()

(2)西瓜藤的长短与西瓜的产量不是函数关系． ()

(3)散点图可以粗略地推断两个变量是否具有线性相关关系． ()

(4)在求线性回来方程之前，应先推断这两个变量是否具有线性相关关系． ()

[答案](1)√(2)√(3)√(4)√

2．依据下表中的数据，得到的回来方程为Y＝bX＋9，则b＝()

X

4

5

6

7

8

Y

5

4

3

2

1

A．2B．1C．0D．－1

D[由题意可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，∵回来方程为Y＝bX＋9且回来直线过点(6，3)，∴3＝6b＋9，解得b＝－1．]

3．为了探讨某种细菌在特定环境下随时间改变的繁殖规律，得到如下数据：

天数X/天

3

4

5

6

7

繁殖个数Y/万个

2.5

3

4

4.5

c

若已知回来直线方程为Y＝0.85X－0.25，则表中c的值为________．

6[eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5＋c,5)＝eq\f(14＋c,5)，代入回来直线方程，得eq\f(14＋c,5)＝0.85×5－0.25，所以c＝6．]

4．某公司为了精确地把握市场，做好产品生产安排，对过去四年的数据进行整理得到了第X年与年销售量Y(单位：万件)之间的关系如下表：

X

1

2

3

4

Y

12

28

42

56

(1)在图中画出表中数据的散点图；

(2)依据散点图选择合适的回来模型拟合Y与X的关系(不必说明理由)；

(3)建立Y关于X的回来方程，预料第5年的销售量．

参考公式：回来直线X的斜率和截距的最小二乘估计分别为

eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(Σ,\s\up8(n),\s\do7(i＝1))?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\o(Σ,\s\up8(n),