第1章 二次根式 知识归纳与题型训练（8类题型清单）（原卷版）.docx

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第1章《二次根式》知识归纳与题型训练（8题型清单）

一、二次根式

1.二次根式的定义：．

2.二次根式有意义的条件：

3.二次根式的双重非负性：

①被开方数满足；②二次根式本身满足；

要点诠释：

（1）、二次根式的判断不需要化简，如也是二次根式；

（2）、组合型二次根式，在求未知数的取值范围时，各部分都要有意义，如求二次根式有意义的条件需同时满足；

二、二次根式的性质

1、二次根式的性质公式1：．

2、二次根式的性质公式2：

3、最简二次根式：根号下的被开方数不含分数、不含分母、不含有开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式；

要点诠释：

（1）二次根式的性质公式是计算和化简二次根式中非常重要的一步骤，也是化简二次根式常用公式，必须熟记。

（2）二次根式的每个性质公式的应用都是有前提条件的，那就是必须满足对应取值范围，在做到含有字母类被开方数问题的化简时，要特别注意取值范围；

三、二次根式的运算

1、二次根式的运算公式：．

2、分母有理化：把分式的分母化成有理数的过程叫做分母有理化；

当分母是时，分子分母同乘即可；当分母是时，则利用平方差公式，分子分母同乘；

要点诠释：

（1）、二次根式的运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简成最简二次根式；

（2）、二次根式的根号前如果有系数，系数可以是正数、假分数，不能是带分数，如：

同类二次根式：化成最简二次根式后，根号下的被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，只有同类二次根式才能进行进行合并，遵循合并同类项法则；

AD

A

D

B

四、二次根式的应用

坡比：如图，斜坡AB的坡比指斜坡上A、B两点之间的高度差AD与水平距离BD的比叫做AB的坡比；

要点诠释：

（1）坡比和二次根式的结合性实际问题中，常做辅助线为：作垂线；

（2）二次根式的应用也常和直角三角形的勾股定理结合，辅助里面平方、开方的计算；

（3）方位角和距离的计算中也常用到二次根式的化简计算；

题型一二次根式的定义与二次根式的值

例题：

1.下列各式是二次根式的是（）

A．a2+1 B．?7 C．a

2.当x＝﹣4时，二次根式6+x

A．4 B．2 C．﹣2 D．±2

3．下列各式中，不是二次根式的是（）

A．0 B．3?π C．a2+2

巩固训练

4．若二次根式x的值为2，则x的值是（）

A．2 B．4 C．3 D．2

5．若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）

A．x2?3 B．2(x+1)2 C．

6．若12?n是整数，则满足条件的自然数n的最小值是．

题型二二次根式有意义的条件

例题：

1．使x?2024有意义的x的取值范围是（）

A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024

2．若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（）

A．12?x B．x?1 C．x?4 D．

3.已知y=x?3+3?x+8

巩固训练

4．要使代数式xx?3有意义，则x

A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3

5．已知x，y为实数，若满足y=x?3+3?x+2

A．5 B．6 C．8 D．9

6．已知实数a满足|2023?a|+a?2024=a，那么a﹣2024

A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024

题型三二次根式的性质与化简

例题：

1．下列计算正确的是（）

A．4+9=13

C．?(?3)2

2．若(a?1)2=1?a

A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1

3．化简：

（1）4

（2）(

4（2023?舟山一模）观察下列各式：①1+13=213，②2+14=31

（1）请观察规律，并写出第④个等式：；

（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；

（3）请证明（2）中的结论．

巩固训练

5．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)

A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3

6．将a?1

A．?a B．??a C．?a

7．（1）已知a=22?6，b=6

（2）化简：4+23

8．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有(a?b)2≥0，所以a+b﹣2ab≥0，即a+b≥2ab（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a+1a≥2

【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．

（1）函数y＝2﹣x?9x（x＞0）的最大值为

（2）求函数y＝4x+1x?1（x＞1）的最小值，并写出取最小值时

【猜想提升】小明由上述的a+b