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2025年高考数学总复习《数列不等式的放缩问题》专项测试卷及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

01先求和后放缩

1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且______请在是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求的通项公式

(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和，证明：

2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，证明：.

3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列的前n项和，数列满足：，．

(1)证明：是等比数列；

(2)设数列的前项和为，且，求

(3)设数列满足：．证明：．

4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.

02裂项放缩

5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.

(1)求；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.

(1)求，的通项公式；

(2)已知，求数列的前项和；

(3)求证：.

7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列满足，.

(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.

8．（2023·河北唐山·模拟预测）已知和是公差相等的等差数列，且公差的首项，记为数列的前项和，．

(1)求和；

(2)若的前项和为，求证：．

03等比放缩

9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，是与的等差中项．

(1)求的通项公式；

(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．

(3)设，且数列的前项和为，求证：．

10．（2023·全国·高三专题练习）求证：（）.

11．（2023·重庆·高三统考阶段练习）记数列的前项和为，且.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求证：.

04型不等式的证明

12．（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数（）.

(1)证明：；

(2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）.

13．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知函数.

(1)证明：当时，恒成立；

(2)首项为的数列满足：当时，有，证明：.

14．（2023·重庆·高三校联考期中）设数列的前项之积为，满足.

(1)设，求数列的通项公式；

(2)设数列的前项之和为，证明：.

15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）

(1)求的通项公式.

(2)求证：对任意的，，都有.

16．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．

(1)当时，证明：；

(2)数列的前项和为，且；

（ⅰ）求；

（ⅱ）求证：．

17．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)证明：.

18．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数．

(1)若函数在上只有一个零点，求的取值范围；

(2)若，记数列的前项和为，证明：．

05型不等式的证明

19．（2023·黑龙江大庆·高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.

(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；

(2)证明：.

20．（2023·浙江温州·高二校联考期末）已知数列，满足，，且，.

（1）求及；

（2）猜想，的通项公式，并证明你的结论；

（3）证明：对所有的，.

21．（2023·山东青岛·高二统考期末）在各项为正数的数列中，，点在曲线上；对于数列，点在过点，且以为方向向量的直线上．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，问是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)对任意正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．

06型不等式的证明

22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数．

(1)证明：对恒成立；

(2)是否存在，使得成立？请说明理由．

23．（2023·