求二次函数的解析式课件人教版九年级数学上册.pptx

22.1.4.1二次函数y=ax2+bx+c

的图象和性质;二次函数的概念

给出一些实际问题，引导学生列出函数关系式：

问题1：用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？设长方形的长为\(x\)m，面积为\(y\)m2，则\(y=x(8-x)=-x^{2}+8x\)。

问题2：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，设每件售价提高\(x\)元，每天的销售利润为\(y\)元，则\(y=(10+x-8)(200-\frac{x}{0.5}\times10)=(2+x)(200-20x)=-20x^{2}+160x+400\)。

引导学生观察这些函数关系式的特点，与一次函数进行对比，总结出二次函数的定义：一般地，形如\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)、\(b\)、\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

强调\(a\neq0\)这个条件，如果\(a=0\)，则函数就变成了一次函数。同时举例说明一些不是二次函数的式子，让学生进一步明确二次函数的概念。

二次函数的一般形式

对二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）进行详细讲解，分析各项系数的作用：

二次项系数\(a\)决定了函数图象的开口方向和开口大小。当\(a\gt0\)时，图象开口向上；当\(a\lt0\)时，图象开口向下。\(\verta\vert\)越大，图象的开口越小；\(\verta\vert\)越小，图象的开口越大。

一次项系数\(b\)和二次项系数\(a\)共同决定对称轴的位置。对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)。当\(a\)、\(b\)同号时，对称轴在\(y\)轴左侧；当\(a\)、\(b\)异号时，对称轴在\(y\)轴右侧。

常数项\(c\)决定了函数图象与\(y\)轴的交点位置，当\(x=0\)时，\(y=c\)，所以图象与\(y\)轴交于点\((0,c)\)。

通过一些具体的二次函数例子，让学生指出各项系数，并分析其图象的一些特征。

（三）例题讲解（15分钟）

例1：已知二次函数\(y=2x^{2}-3x+1\)，求：

（1）二次项系数、一次项系数和常数项；

（2）当\(x=2\)时，函数\(y\)的值；

（3）当\(y=0\)时，\(x\)的值。

??：（1）二次项系数为\(2\)，一次项系数为\(-3\)，常数项为\(1\)。

（2）当\(x=2\)时，\(y=2\times2^{2}-3\times2+1=8-6+1=3\)。

（3）当\(y=0\)时，\(2x^{2}-3x+1=0\)，因式分解得\((2x-1)(x-1)=0\)，解得\(x_{1}=\frac{1}{2}\)，\(x_{2}=1\)。

例2：一个二次函数的图象经过点\((0,0)\)，\((1,-3)\)，\((2,-8)\)，求这个二次函数的表达式。

解：设二次函数的表达式为\(y=ax^{2}+bx+c\)。

因为函数图象经过点\((0,0)\)，所以把\(x=0\)，\(y=0\)代入得\(c=0\)。

又因为图象经过点\((1,-3)\)，\((2,-8)\)，所以可得方程组\(\begin{cases}a+b=-3\\4a+2b=-8\end{cases}\)

将第一个方程\(a+b=-3\)两边同时乘以\(2\)得\(2a+2b=-6\)，用\(4a+2b=-8\)减去\(2a+2b=-6\)得：\(

\begin{align*}

4a+2b-(2a+2b)=-8-(-6)\\

4a+2b-2a-2b=-8+6\\

2a=-2\\

a=-1

\end{align*}

\)

把\(a=-1\)代入\(a+b=-3\)得\(-1+b=-3\)，解得\(b=-2\)。

所以这个二次函数的表达式为\(y=-x^{2}-2x\)。

（四）课堂练习（10分钟）

下列函数中，哪些是二次函数？

（1）\(y=3x-1\)；

（2）\(y=3x^{2}\)；

（3）\(y=3x^{3}+2x^{2}\)；

（4）\(y=2x^{2}-2x+