2024_2025学年新教材高中数学第一章集合与逻辑2.3全称量词和存在量词学案湘教版必修第一册.docVIP

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全称量词和存在量词

新课程标准解读

核心素养

1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义

数学抽象

2.能正确运用存在量词对全称命题进行否定以及真假判别

数学抽象、逻辑推理

3.能正确运用全称量词对特称命题进行否定以及真假判别

数学抽象、逻辑推理

视察下列语句：(1)x＞3；(2)2x＋1是整数；(3)对全部的x∈R，x＞3；(4)存在一个x∈R，2x＋1是整数．

[问题]比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？

学问点一含有量词的命题

1．全称量词与全称命题

全称量词

“全部的”“随意一个”“一切”“每一个”“任给”等

符号

eq\a\vs4\al(?)

全称命题

设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题

形式

“对M中随意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”

2.存在量词与特称命题

存在量词

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等

符号

eq\a\vs4\al(?)

特称命题

语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题

形式

“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”

eq\a\vs4\al()

有的命题虽然不含全称量词，但实质上是全称命题，同理，有些命题虽然不含存在量词，但实质是特称命题．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)命题“随意一个自然数都是正整数”是全称命题．()

(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称命题．()

(3)命题“梯形有两边平行”不是全称命题．()

答案：(1)√(2)√(3)×

2．下列语句是特称命题的是________．(填序号)

①随意一个自然数都是正整数；

②存在整数n，使n能被11整除；

③若3x－7＝0，则x＝eq\f(7,3)；

④有些函数为奇函数．

答案：②④

学问点二含量词命题的否定

1．全称命题的否定：命题“?x∈I，p(x)”的否定是“eq\a\vs4\al(?)x∈I，綈p(x)”即綈(?x，p(x))??x，綈p(x)．

2．特称命题的否定：命题“?x∈I，p(x)”的否定是“?x∈I，綈p(x)”．即綈(?x，p(x))??x，綈p(x)．

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

如何对省略量词的命题进行否定？

提示：对于含有一个量词的命题，简单知道它是全称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“全部的”或“对随意”，它的否定是特称命题．反之亦然．

1．命题“对随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．

答案：?x∈R，x3－x2＋10

2.(2024·泰州高一月考)命题“?x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________________．

答案：?x∈R，x2＋x＋1＞0

全称命题与特称命题的推断

[例1](链接教科书第19页例6)推断下列语句是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)矩形的对角线不相等；

(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；

(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；

(5)方程3x－2y＝10有整数解．

[解](1)可以改为全部凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．

(2)可以改为全部矩形的对角线都不相等，故为全称命题．

(3)若一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称命题．

(4)含存在量词“有些”，故为特称命题．

(5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为特称命题．

eq\a\vs4\al()

推断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

[留意]全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

[跟踪训练]

1.(多选)下列语句是特称命题的是()

A．有的无理数的平方是有理数

B．有的无理数的平方不是有理数

C．对于随意x∈Z，2x＋1是奇数

D．存在x∈R，2x＋1是奇数

解析：选ABD因为“有的”“存在”为存在量词，“随意”为全称量词，所以选项A、B、D均为特称命题，选项C为全称命题．

2．用量词符号“?”或“?”表述下列命题：

(1)不等式x2＋x＋10恒成立；

(2)当x为有理数时，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1也是有理数；