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2025年高考数学总复习《函数与导数》专项测试卷及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

01函数零点问题之分段分析法模型

1．（2023·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．

2．（2023·湖北·高三校联考期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得函数的定义域为．

又，

∵函数至少存在一个零点，

∴方程有解，

即有解．

令，

则，

∴当时，单调递增；当时，单调递减．

∴．

又当时，；当时，．

要使方程有解，则需满足，

∴实数的取值范围是．

故选D．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由，得，且

由，则

若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.

若，设，则，所以在上单调递增

由，所以有唯一实数根，设为，即

则当时，，，则在单调递减，

当时，，，则在单调递增，

所以当时，

由可得，即，即

所以，

又当时，，

当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得

所以函数有两个不同零点，则

设，则

当时，有，则在上单调递增.

当时，有，则在上单调递减.

又当时，，

所以当时，，当时，，

所以的解集为

故答案为：

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】转化为有四个解，

即在范围内有四个解，

即在范围内有四个解，

即在范围内有四个解，

即在范围内有四个解，

令，

则，

令得，

所以当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，

做出大致图像如下：

令，

则原方程转化为，

令，

，

令得，

当时，，当时，，

所以在递减，在递增，

做出大致图像如下：

所以时，对应解出两个值，

从而对应解出四个值，

故答案为：.

02函数嵌套问题

5．（2023·云南保山·高三统考期末）定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（????）

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】C

【解析】设，则关于的方程等价为，

作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，

当时方程有两个不同的实根，

∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，

则等价为有两个根，一个根，另外一个根，

不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，

则，则，且，

则，

故选：C．

6．（2023·全国·高三福建省福州第八中学校考期末）定义在上函数，若关于的方程(其中)有个不同的实根，，…，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得.

或及，函数图像如图所示，由图可知，共有五个根，，，，，且，和关于对称，和关于对称，所以为，.

故选：A.

7．（2023·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有3个不同的实数解x1、x2、x3且x1x2x3，则下列说法中错误的是（????）

A． B．1+a+b=0

C．x1+x3= D．x1+x32x2

【答案】D

【解析】分段函数的图象如图所示：

由图可知，只有当时，它有三个根，其余的根为0或2个，

由，即，

解得，或．

若关于的方程有且只有3个不同实数解，只能为，

其解分别是，，0，因为，即，，，

，，，故正确的有ABC

故选：D．

8．（2023·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，且.下列说法错误的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分段函数的图象如图所示：

由图可知，只有当时，它有三个根，其余的根为0或2个，

由，即，

解得，或．

若关于的方程有且只有3个不同实数解，只能为，

其解分别是，，0，因为，即，，，

，，，故正确的有ABC，

故选：D．

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】

如图，若要有6个不同实数解，

令，则，

则有