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2025年高考数学总复习《立体几何解答题》专项测试卷含答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：

（1）作图：作出空间角的平面角．

（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．

（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．

简称：一作、二证、三算．

2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．

3、求直线与平面所成角的常见方法

（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．

（2）等积法：公式，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．

（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．

4、作二面角的平面角常有三种方法

（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．

（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．

（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．

1．（2023?北京）如图，四面体中，，，平面．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

2．（2023?天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

3．（2022?新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．

（1）求到平面的距离；

（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

4．（2021?新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

5．（2021?新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

6．（2023?乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

7．（2022?乙卷）如图，四面体中，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

考点一：非常规空间几何体为载体

关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．

例1．（2023·上海虹口·高三统考期中）如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．

??

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值．

例2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.

??

(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；

(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.

例3．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·

(1)若P是的中点，证明：；

(2)若平面，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体的体积．

考点二：立体几何探索性问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．

例4．（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且满足，如图甲，将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，如图乙.

??

(1)求证：平面.

(2)在线段上是否存在点，使平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

例5．（2023·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)求二面角的正弦值；

(3)是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

例6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）如图，在三棱台中，若平面，为中点