2025年高考数学总复习《正余弦定理妙解三角形问题和最值问题》专项测试卷及答案.docxVIP

第PAGE1

第PAGE1页共NUMPAGES60页

2025年高考数学总复习《正余弦定理妙解三角形问题和最值问题》专项测试卷及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．

3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．

6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．

7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．

1．（2023?北京）在中，，则

A． B． C． D．

2．（2023?乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则

A． B． C． D．

3．（2021?乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

4．（2022?上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为．

5．（2023?上海）已知中，角，，所对的边，，，则．

6．（2021?乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则．

7．（2021?浙江）在中，，，是的中点，，则；．

8．（2022?甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，．

9．（2022?新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．

（1）求的面积；

（2）若，求．

10．（2022?乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）证明：；

（2）若，，求的周长．

11．（2022?天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

考点一：倍长定比分线模型

如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．．

例1．（2023·河南安阳·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（????）

A． B． C．3 D．

例2．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．

(1)求AD的长度；

(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．

例3．（2023·辽宁·校联考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，

(1)求角B的大小；

(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．

考点二：倍角定理

，这样的三角形称为“倍角三角形”．

推论1：

推论2：

例4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在中，AB＝4，AC＝3．

(1)若，求的面积；

(2)若A＝2B，求BC的长．

例5．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在锐角中，角所对的边为，且.

(1)证明:

(2)若，求的取值范围.

例6．（2023·四川绵阳·统考一模）在锐角中，角，，所对的边为，，，且．

(1)证明：；

(2)求的取值范围．

例7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．

（1）证明：；

（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．

考点三：角平分线模型

角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习）

斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积．

例8．（2