2024_2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1.2离散型随机变量的分布列课后篇巩固探究含解析新人教A版选修2_3.docxVIP

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2.1.2离散型随机变量的分布列

课后篇巩固探究

基础巩固

1.设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

0.2

0.1

0.1

0.3

m

若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于()

A.0.3 B.0.4

C.0.6 D.0.7

解析由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,且P(Y=2)=P(X=4)=0.3.

答案A

2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球,则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示事务“放回5个红球”的是()

A.ξ=4 B.ξ=5

C.ξ=6 D.ξ≤5

解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.

答案C

3.若随机变量X的分布列为

X

-2

-1

0

1

2

3

P

0.1

0.2

0.2

0.3

0.1

0.1

则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是()

A.(-∞,2] B.[1,2]

C.(1,2] D.(1,2)

解析由随机变量X的分布列知P(X-1)=0.1,P(X0)=0.3,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,故当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].

答案C

4.已知随机变量X全部可能取值的集合为{-2,0,3,5},且P(X=-2)=14,P(X=3)=12,P(X=5)=112,则P(X=0)的值为

A.0 B.14

C.16 D.

解析由分布列的性质可知,P(X=0)=1-P(X=-2)-P(X=3)-P(X=5)=16

答案C

5.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P12X5

A.23 B.34 C.45

解析∵P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),∴a2+a6+a12+a20=1,∴a=54,∴P12

答案D

6.从4名男生和2名女生中任选3人参与数学竞赛,则所选3人中,女生的人数不超过1人的概率为.?

解析设所选女生数为随机变量X,则X听从超几何分布,所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C2

答案4

7.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ck(k+1),k=1,2,3,c为常数,则P(0.5X2.5

解析∵1=c11

∴c=43

∴P(0.5X2.5)=P(X=1)+P(X=2)=23

答案8

8.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,其次排取的字母放在其次位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.[如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223]

第一排

明文字母

A

B

C

密码数字

11

12

13

其次排

明文字母

E

F

G

密码数字

21

22

23

第三排

明文字母

M

N

P

密码数字

1

2

3

(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;

(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.

①求P(ξ=2);

②求随机变量ξ的分布列.

解(1)这个明文对应的密码是12232.

(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,

∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、其次列中的字母.

∴P(ξ=2)=23

②由题意可知,ξ的取值为2,3.

∴P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-827

∴ξ的分布列为

ξ

2

3

P

8

19

9.已知随机变量ξ的分布列为

ξ

-2

-1

0

1

2

3

P

1

1

1

1

1

1

(1)求η1=12ξ的分布列

(2)求η2=ξ2的分布列.

解(1)η1=12ξ

η1

-1

-1

0

1

1

3

P

1

1

1

1

1

1

(2)η2=ξ2的分布列为

η2

0

1

4

9

P

1

1

1

1

10.某市实行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成果大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参与了初赛,全部学生的成果均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.

(1)求获得复赛资格的人数;

(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?

(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参与全市座谈沟通,设X表示得分在区间(130,150]中参与全市座谈沟通的人数,求X的分布列.

解(1)由题意知[90,110)之间的频率为1-20×(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)=0.3,