2024_2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质2.2第二课时函数奇偶性的应用习题课学案湘教版必修第一册.docVIP

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其次课时函数奇偶性的应用(习题课)

利用函数的奇偶性求解析式

角度一定义法求函数解析式

[例1]已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.

(1)求f(－1)；

(2)求f(x)的解析式．

[解](1)因为函数f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝－(－2×12＋3×1＋1)＝－2.

(2)当x0时，－x0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.

由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，

则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.

所以f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋3x＋1，x0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x0.))

[母题探究]

(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f(x)的解析式．

解：当x0时，－x0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为

f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋3x＋1，x≥0，,－2x2－3x＋1，x0.))

eq\a\vs4\al()

利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

角度二方程组法求函数解析式

[例2]设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．

[解]∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)， ①

用－x代替x，

得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，

∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)， ②

(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；

(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).

eq\a\vs4\al()

已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解．

[跟踪训练]

已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()

A．－26 B．－18

C．－10 D．10

解析：选A法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，

∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.

法二：由已知条件，得

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝（－2）5＋a（－2）3＋b（－2）－8，①,f（2）＝25＋a·23＋b·2－8，②))

①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.

又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.

利用函数的单调性和奇偶性比较大小

[例3]已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()

A．f(π)f(－3)f(－2)

B．f(π)f(－2)f(－3)

C．f(π)f(－3)f(－2)

D．f(π)f(－2)f(－3)

[解析]∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．∵23π，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)f(3)f(π)，∴f(－2)f(－3)f(π)．故选A.

[答案]A

[母题探究]

1．(变条件)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？

解：因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f(2)f(3)f(π)．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)f(－3)f(π)．

2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．

解：因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，

因为－3－2π，所以f(－3)f(－2)f(π)．

eq\a\vs4\al()

利用函数的奇偶性与单