华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-7.docVIP

第七章平面向量

7.1向量的基本概念及表示

基础练习

1．下列各量中是向量的有__________．

（A）动能 （B）重量 （C）质量 （D）长度 （）作用力与反作用力 （）温度

解：A，C，D，只有大小．没有方向，而和既有大小又有方向，故为向量．

2．判断下列命题是否正确．若不正确，请简述理由．

①向量与是共线向量，则，，，四点必在一直线上．

②单位向量都相等．

③任一向量与它的相反向量不相等．

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

解：①不正确．可能平行但不共线．

②不正确．方向不一定相同．

③不正确．零向量．

④不正确．两个同向且模相等的向量．

3．回答下列问题，并说明理由．

（1）平行向量的方向一定相同吗？

（2）共线向量一定相等吗？

（3）相等向量一定共线吗？不相等的向量一定不共线吗？

解：（1）平行向量的方向不一定相同．可能方向相反．

（2）不一定，大小不一定相等．

（3）相等向量必共线，不相等的可以是不共线的．也可以是共线的．

4．命题“若则．”（）．

A．总成立 B．当时成立

C．当时成立 D．当时成立

解：C．

5．已知正六边形（见图），在下列表达式中：①；②；③；④；与相等的有____________．

解：①②③④．

7.2向量的加减法

1．若对个向量存在个不全为零的实数，，…，，使得成立，则称向量为“线性相关”，依此规定，能说明“线性相关”的实数是依次可以取__________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

解：（只要符合这个比例就行）．

2．已知矩形ABCD中，宽为2，长为，，试作出向量，并求出其模的大小．

解：．

3．设，为两个相互垂直的单位向量．已知．若为等边三角形，则，的取值为（）．

A． B．

C． D．

解：C．

4．若、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（）．

① ②

③ ④

A．1 B．2 C．3 D．4

解：C．

5．设表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”．说明下列向量的意义．

（1）．（2）（3）．

解：（1）表示向东走．

（2）表示向西南走．

（3）表示向东南走．

6．在图的正六边形中，，求．

解：；

．

．

7.3实数与向量的乘法

1．已知向量是两非零向量，在下列四个条件中，能使，共线的条件是（）．

①2且；

②存在相异实数、，使；

③（其中实数、满足）；

④已知梯形中，其中、．

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

解：A．

2．判断下列命题的真假：

（1）若与是共线向量，则，，，四点共线．

（2）若，则，，三点共线．

（3），则．

（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．

解：四个命题均是错误的．

3．已知中是上的一点，且，试求证：．

证明：，

则

由向量求和的三角形法则知（参见题3解析图）：

①

②

再由①+②得：

则．

4．已知．试判断与是否共线．

解：由于

则与共线．

5．已知在四边形中，，，，求证：四边形是梯形．

证明：参见题5解析图，显然

又点不在上，

则，，

则四边形是梯形．

6．已知是平面上三个不同的点，且满足关系式，求实数的取值范围．

解：由题：在椭圆上．

设，则=，

．

其中则．

7．已知梯形中，，，分别是、的中点，若，用表示．

解：参见解析图，（1）．

（2）

．

（3）．

8．四边形是一个梯形，且，，分别是和的中点，已知，试用表示和．

解：．

9．已知是不共线的非零向量，，其中为常数，若，求，的值．

解：．

10．设是不共线的两个非零向量，，其中，，，均为实数，，若三点共线，求证：．

证明：由于三点共线，则存在实数，使得，

则，

由于不共线，则，则．

11．在中，与交点为．设，试用向量表示．

解：由于与共线，则，

则 ①

又与共线，则，

则 ②

由①②，得．

由于与不共线，则即 ③

解方程组③得，将它们代入①式得

．

12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，若且，则求出点所有可能的位置所构成的区域面积．

解：作，

为中点，则在内，面积为．

7.4向量的数量积

1．已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（）

①；②反向；

③；④．

A．１ B．２ C．３ D．４

解：④错，所以选C．

2．已知向量为相互垂直的单位向量，，求．

解：．

3．如图所示，已知平行四边形，，求．

解：．

4．设，求与的夹角的余弦值．

解：96=，．

5．已知，当时，求实数的值．

解：．

6．已知不共线向量，且向量与垂直．求：与的夹