拉普拉斯变换的数学方法.pptxVIP

2025/3/251控制工程理论基础第二章拉普拉斯变换数学方法第1页

2025/3/252提要2.1复数和复变函数2.2拉氏变换与反拉氏变换定义2.3经典时间函数拉氏变换2.4拉氏变换性质2.5拉氏反变换数学方法2.6用拉氏变换解常微分方程第2页

2025/3/253拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。

是分析研究线性动态系统有力工具。时域微分方程复数域代数方程系统分析大为简化直接在频域中研究系统动态性能拉氏变换第3页

2025/3/254引言复数和复变函数（1）复数概念其中，均为实数。为虚单位。（2）复数表示法点表示法向量表示法三角函数表示法指数表示法第4页

2025/3/255引言复数和复变函数（3）复变函数概念为自变量。第5页

2025/3/256例：第6页

2025/3/257当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm为G(s)零点；当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm为G(s)极点。第7页

2025/3/2582.2拉氏变换与拉氏反变换定义1、拉氏变换有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)拉氏变换记作：L[f(t)]或F(s)，并定义为：(2－1)f(t)拉氏变换F(s)存在两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t→∞时，f(t)增加速度不超出某一指数函数，即满足：该条件使得积分绝对值收敛。第8页

2025/3/2592.2拉氏变换与拉氏反变换定义2、拉氏反变换已知f(t)拉氏变换F(s)，求原函数f(t)过程称作拉氏反变换，记作：定义为以下积分：其中：s为大于F(s)全部奇异点实部实常数。(2－2)第9页

2025/3/25102.3经典时间函数拉氏变换1单位阶跃函数定义为：单位阶跃函数拉氏变换为：第10页

2025/3/25112.3经典时间函数拉氏变换2单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数主要性质：单位脉冲函数拉氏变换为：第11页

2025/3/25122.3经典时间函数拉氏变换3单位斜坡函数定义为：单位斜坡函数拉氏变换为：第12页

2025/3/25132.3经典时间函数拉氏变换4指数函数定义为：指数函数拉氏变换为：第13页

2025/3/25142.3经典时间函数拉氏变换5正弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：6余弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：第14页

2025/3/25152.3经典时间函数拉氏变换7幂函数（作业）其拉氏变换为：例：惯用时间函数拉氏变换表，可经过直接查表求时间函数拉氏变换。第15页

2025/3/25162.4拉氏变换性质1.线性性质－线性变换(2-3)第16页

2025/3/25172.4拉氏变换性质2.实数域位移定理－延时定理(2-4)其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒延时函数，且：第17页

2025/3/2518例2.3图2－10所表示方波拉氏变换。图示方波函数表示为：利用单位阶跃函数拉氏变换，以及拉氏变换线性性质和延时定理：第18页

2025/3/2519例2.4求图2－11所表示三角波拉氏变换。图示三角波函数表示为：利用单位斜坡函数拉氏变换，以及拉氏变换线性性质和延时定理：第19页

2025/3/25202.4拉氏变换性质3.周期函数拉氏变换设f(t)是以T为周期周期函数，即：则f(t)拉氏变换为：第20页

2025/3/25212.4拉氏变换性质4.复数域位移定理(也称衰减定理)第21页

2025/3/25222.4拉氏变换性质5.相同定理（也称尺度定理）第22页

2025/3/25232.4拉氏变换性质6.微分定理7.积分定理第23页

2025/3/2524Back8终值定理原函数f(t)稳态性质sF(s)在s=0邻域内性质第24页

2025/3/2525Back9初值定理第25页

2025/3/25262.4拉氏变换性质10.tf(t)拉氏变换11.f(t)/t拉氏变换第26页

2025/3/25272.4拉氏变换性质12.卷积定理函数f(t)和g(t)卷积定义为：拉氏变换卷积定理：若函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在条件，则f(t)和g(t)卷积拉氏变换一定存在，且：其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时，f(t)=g(t)