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华东理工大学

复变函数与积分变换作业本（第4册）

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第七次作业

教学内容：4.1复数项级数4.2幂级数

1.判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中.

(1);

解：

，故收敛于

(2);

解：由于的实部发散，故发散

(3).

解：故收敛，

2.判别下列级数的收敛情况:

(1);

解：由为收敛的交错项实级数，所以收敛，但，故发散，原级数条件收敛。

(2);

解：因，而收敛，故绝对收敛。

（3）。

解：，

因级数发散，故发散。

3.求下列幂级数的收敛半径：

(1)；

解：

(2);

解：

(3);

解：

（4）；;

解：，收敛半径为；

（5）.

解：，收敛半径为2；

4.把下列函数展开成的幂级数，并指出它的收敛半径:

(1)；

解：

，即收敛半径为1；

(2)

解：

；

(3)；

解：

；

第八次作业

教学内容：4.3解析函数的泰勒展开4.4洛朗级数

1．求下列各函数在指定点处的Taylor展开式，并指出它们的收敛半径：

(1)；

解：

其中，即

(2)；

解：

(3)；

解：

其中

(4);

解：

其中，即

(5)，；

解：

其中

(6)

解：

;

2．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数.

（1）

解：在内，

；

在内，

（2）；

解：

（3）以为中心的圆环；

解：有两个奇点，，，所以以为中心的圆环域有：

和，

在内，因，

故=

在内展开，得：

（4）.

解：在内，

，

所以

3.把下列各函数在指定圆环域内展成Laurent级数,且计算其沿正向圆周的积分值：

(1)的去心邻域；

解：由于（

所以

于是;

(2)；

解：

(3).

解：

4.求函数在上的洛朗展开式。

解：

故=。

5.设，求？

解:

因此