2024-2025学年福建省福州市高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析）.docx

2024-2025学年福建省福州市高二上学期10月月考数学检测试题（一）

一、单选题（本大题共8小题）

1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（????）

A． B． C． D．

2．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（????）

A．1 B．2

C．3 D．4

3．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（????）

A． B．

C． D．

4．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（????）

A．或 B．或1 C．或2 D．

5．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（????）

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为

6．已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点P满足则DP与AB夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论是（????）

A．的最小值为2

B．四面体的体积为

C．有且仅有一条直线与垂直

D．存在点，使为等边三角形

8．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（????）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为

D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

二、多选题（本大题共3小题）

9．直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（????）

A．若，则直线平面

B．若，则平面平面

C．若，则平面所成锐二面角的大小为

D．若，则直线与平面所成角的大小为

10．下列说法错误的是（????）

A．若是空间任意四点，则有

B．若，则存在唯一的实数，使得

C．若共线，则

D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面

11．在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（????）

A．当点为三角形的重心时，

B．当时，的最小值为

C．当点在平面内时，的最大值为2

D．当时，点到的距离的最小值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知空间向量，若，则实数.

13．平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且平面，则向量在向量方向上的投影向量是(结果用表示).

14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：

①存在点，使；

②存在点，使；

③到直线和的距离相等的点有无数个；

④若，则四面体体积的最大值为．

其中所有正确结论的序号是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.

(1)证明：平面.

(2)求二面角的正弦值.

16．在长方体中，点E，F分别在，上，且，．

(1)求证：平面平面AEF；

(2)当，，求平面与平面的夹角的余弦值．

17．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.

??

(1)求证：平面；

(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.

①求证：；

②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

18．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）.

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与

(1)求异面直线与成角余弦值；

(2)求平面与平面的夹角正弦值；

(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.

19．如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．

??

(1)当为何值时，平面平面?

(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说