2024_2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数课后巩固提升含解析新人教A版选修1_1.docxVIP

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3.3.3函数的最大(小)值与导数

课后篇巩固提升

1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()

A.-1

B.0

C.-

D.

解析g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,

解得x1=,x2=-(舍去).

当x改变时,g(x)与g(x)的改变状态如下表:

x

0

1

g(x)

-

0

+

g(x)

0

单调递减↘

-

单调递增↗

0

所以当x=时,g(x)有最小值g=-.

答案C

2.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()

A.-e B.1-e

C.-1 D.0

解析y=-1,令y=0,∴x=1,列表如下:

x

(0,1)

1

(1,e)

e

y

+

0

-

y

单调递增↗

-1

单调递减↘

1-e

所以y最大值=f(1)=-1.

答案C

3.函数y=()

A.有最大值2,无最小值

B.无最大值,有最小值-2

C.最大值为2,最小值为-2

D.无最值

解析y=,令y=0,得x=±1,简单验证当x=-1时,函数取微小值f(-1)=-2,当x=1时函数取极大值f(1)=2.

又因为当x=0时,y=0,当x0时,y0,当x0时,y0,据此可以画出函数的大致图象如下,由图象可知,函数的最大值为f(1)=2,函数的最小值为f(-1)=-2.

答案C

4.若函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是()

A.

B.

C.(-∞,0]

D.

解析当x≤0时,f(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-∞,0]上的最大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2恒成马上可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即a≤在(0,2]上恒成立,故a≤ln2.

答案D

5.已知函数f(x)=(2x-x2)ex,给出下列推断:①f(x)0的解集是{x|0x2};②f(-)是微小值,f()是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值,其中推断正确的是()

A.①③

B.①②③

C.②

D.①②

解析由f(x)0,得2x-x20,所以0x2,故①正确;f(x)=[(2x-x2)ex]=ex(2-2x+2x-x2)=ex(2-x2),令f(x)=0,得x=±,简单验证f(-)是微小值,f()是极大值,所以②正确;f(-)=(-2-2)0,f()=(2-2)0.

当x→+∞时,f(x)0,当x→-∞时,f(x)0.

所以f(x)的大致图象为

故f(x)无最小值,有最大值.③不正确.

答案D

6.函数y=x+(x0)的最小值为.?

解析y=1+×(-2)×=1-,所以当x1时,y0,当0x1时,y0,所以函数在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以函数在x=1处取得最小值,最小值为1+.

答案

7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于.?

解析因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).

因为f(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)(x+1)≥0在[-1,2]上恒成立,所以f(x)在[-1,2]上单调递增.

又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,

所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有f(2)=22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2.

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

答案-7

8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为.?

解析因为函数f(x)的图象始终在g(x)的上方,

所以|MN|=f(t)-g(t)=t2-lnt.

设h(t)=t2-lnt,则h(t)=2t-,

令h(t)==0,得t=,

所以h(t)在内单调递减,在内单调递增,所以当t=时有最小值,故t=.

答案

9.已知f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.

解(1)因为f(x)=2x3-mx2-12x+6,所以f(x)=6x2-2mx-12,

因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,

所以f(2)=6×22-2m×2-12=0,解得m=3.

此时f(x)=2x3-3x2-12x+6,f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),

令f(x)=0,得x=-1或x=2.