2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题08立体几何(上)(学生版+解析).docxVIP

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专题8立体几何（上）

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛A卷）在三棱锥P?ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB,BP,BC,CP的长分别为1

2．（2024·全国联赛B卷）四面体ABCD中，AB⊥BC,BC⊥CD，且AB,BC,CD,DA

3．（2023·全国联赛B卷）设P?ABCD与Q?ABCD为两个正四棱锥，且∠PAQ=90°，点M在线段AC上，且CM=3AM

各省预赛试题汇编

4．（2024·广东预赛）已知四面体PABC，点A1在△PBC内，满足△A1BP,△A1CP,△A1BC的面积之比为3:2:1,G在线段

5．（2024·江苏预赛）三棱锥P?ABC中，三条侧棱PA,PB,PC两两不等，且相互之间的夹角都是π3．

6．（2024·贵州预赛）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以a为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平行平面截帐篷，所得的截面四边形均为正方形，则该帐篷的体积为_____．

7．（2024·四川预赛）将棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的上底面

8．（2024·北京预赛）在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱AA

9．（2024·福建预赛）在棱长为6的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别为AB,BC的中点，点G在棱CC1

10．（2024·江西预赛）P是棱长为2的正四面体ABCD面BCD的中心，M,N分别是面ABD,ACD内的动点，

11．（2024·浙江预赛）已知四面体A?BCD的外接球半径为1，BC=1，∠BDC=60°，则球心到平面BDC的距离为．

12．（2024·广西预赛）正三棱锥P?ABC中，AP=3，AB=4．设D是直线BC上一点，面APD与直线BC的夹角为45°，则线段PD的长度是．

13．（2024·内蒙古预赛）已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，过点A的一个平面截此棱柱，与侧棱BB1，CC1分别交于点

14．（2024·新疆预赛）在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为A1D

15．（2024·上海预赛）一个顶点为P?底面中心为O的圆锥体积为1，若正四棱锥O?ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O?ABCD的体积的最大值是．

16．（2024·重庆预赛）已知四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=1，且异面直线AD与BC所成的角为60°，则四面体ABCD的外接球的体积为．

17．（2023·东莞预赛）已知4个半径为1的球两两外切，则这4个球构成的几何体的外切正四面体的棱长为_____．

18．（2023·福建预赛）在菱形ABCD中，∠DAB=60°，将△ABD沿BD折起得到△A1BD．若二面角A1

19．（2023·广西预赛）椭圆x2+2y2=3围绕y轴旋转一周得到旋转曲面∑．设Px

20．（2023·贵州预赛）已知三棱锥P?ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，设二面角P?

21．（2023·江西预赛）边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为_____．

22．（2023·内蒙古预赛）将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____．

23．（2023·山东预赛）正方体ABCD?A1B1C1D1的底面A1B1

24．（2023·上海预赛）已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC

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专题8立体几何（上）

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛A卷）在三棱锥P?ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB,BP,BC,CP的长分别为1

【答案】3

【详解】由条件知PA⊥

因此PA=BP2

在△ABC中，cosB=A

所以S△

又该三棱锥的高为PA，故其体积为V=

2．（2024·全国联赛B卷）四面体ABCD中，AB⊥BC,BC⊥CD，且AB,BC,CD,DA

【答案】2

【解析】AD=AB+BC+CD，设AB

16=AD2=AB2+BC2+CD2+2AB?BC+2BC?CD+2AB?CD=1+4+

3．（2023·全国联赛B卷）设P?ABCD与Q?ABCD为两个正四棱锥，且∠PAQ=90°，点M在线段AC上，且CM=3AM

【答案】2

【详解】设正方形ABCD的中心为O，由条件知PQ垂直平面ABCD于点O，又∠PAQ=90°，由射影定理知OP?OQ=

以O为原点，OA,OB,O