2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题09数列(下)(学生版+解析).docxVIP

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划

专题9数列（下）

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛A卷）给定正整数r．求最大的实数C，使得存在一个公比为r的实数等比数列ann≥1，满足an≥C对所有正整数n成立．

2．（2024·全国联赛B卷）设无穷等比数列an的公比q满足0q1．若an的各项和等于a

3．（2022·全国联赛A卷）给定正整数mm≥3．设正项等差数列an与正项等比数列bn满足：an的首项等于bn的公比，bn的首项等于an的公差，且am=bm

4．（2022·全国联赛A1卷）设正整数数列an同时具有以下两个性质

(i)对任意正整数k，均有a2k

(ii)对任意正整数m，均存在正整数l≤m，使得

求a2+

5．（2022·全国联赛A2卷）已知数列an的各项均为非负实数，且满足：对任意整数n≥2，均有an+1=a

6．（2022·全国联赛B卷）设正数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足：a1,a2,a

各省预赛试题汇编

7．（2022·重庆预赛）已知a1=1,an+1=λan2+2n∈N?

8．（2022·广西预赛）设a1=π6,an∈0,

9．（2022·四川预赛）已知数列an满足：a1=1,a2=

10．（2022·浙江预赛）已知数列a1=1,a

11．（2022·浙江预赛）把与143互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第2022项为_____．

12．（2022·福建预赛）已知各项均为正数的等比数列an中，a1=2,a8+a10=16a4+

13．（2022·甘肃预赛）已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数，若a1=d,b1=

14．（2022·苏州预赛）若等差数列an满足a2022=a20

15．（2022·吉林预赛）已知数列an的各项均为正数，若对于任意的正整数p,q，总有ap+q=a

16．（2022·吉林预赛）设数列an的前n项和Sn满足：Sn+a

17．（2022·北京预赛）设递推数列xn满足：xn+1=xn2?4xn,

18．（2023·四川预赛）给定正整数a,ba≤b

f

若对任意的正整数n，都有k=1nfk

19．（2023·苏州预赛）已知正数数列an,bn

求证：(1)50

(2)a50

20．（2023·新疆预赛）设a0,a1,a2,?是一个无限实数列，满足不等式a

21．（2023·重庆预赛）已知λ为正实数，数列an满足：a1=13,an+1=

22．（2022·四川预赛）已知各项均为正整数的数列an满足：对于任意的正整数m,k都有am2=a

23．（2022·浙江预赛）设数列an满足a1

(1)数列an

(2)存在一个常数c使得k=

24．（2022·江西预赛）数列an满足：a0=0,an=12

25．（2022·甘肃预赛）已知数列an满足：对任意正整数n，有an2Sn?an=1，

(1)对任意正整数n，有an

(2)对任意正整数n，有an

26．（2022·苏州预赛）已知数列an满足an0

(1)证明：1

(2)证明：a2

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专题9数列（下）

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛A卷）给定正整数r．求最大的实数C，使得存在一个公比为r的实数等比数列ann≥1，满足an≥C对所有正整数n成立．

【答案】当r为奇数时，所求C的最大值为12；当r为偶数时，所求C的最大值为

【详解】情形1：r为奇数．

对任意实数x，显然有∥x∥≤12，故满足要求的

又取an的首项a1=12，注意到对任意正整数n，均有rn?1为奇数，因此an=

情形2：r为偶数．

设r=2mm∈N?．对任意实数α，我们证明a1与

事实上，设a1=k±δ，其中k是与a

注意到，对任意实数x及任意整数k，均有∥x+k∥=∥

若0≤δ≤m

若m2m+1δ≤12

a

另一方面，取a1=m2m+1，则对任意正整数n，有an=m2m+12mn?

从而满足要求的C的最大值为m2m

综上，当r为奇数时，所求C的最大值为12；当r为偶数时，所求C的最大值为r

2．（2024·全国联赛B卷）设无穷等比数列an的公比q满足0q1．若an的各项和等于a

【答案】?

【解析】设an=a1qn?1,n

设an的前n项和为Sn,an2的前n

由题意知limn→∞Sn=limn→∞Tn，即a

所以a2

3．（2022·全国联赛A卷）给定正整数mm≥3．设正项等差数列an与正项等比数列bn满足：an的首项等于bn的公比，bn的首项等于an的公差，且am=bm

【答案】am的最小值为mm

【详解】根据条件，可设an的首项为a，公差为b,bn的首项为b，公比为a，其中a

记λ=a

λ

利用m元平均值不等式，得

m

≤

即有λ≥

当m?12b=λ?m?