2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.3函数模型的应用学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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函数模型的应用

课标解读

课标要求

素养要求

能从不同函数的增长特点动身，总结、概括一般类型的函数模型特点，从而选择恰当的函数模型解决实际问题.

数学建模——会利用已知函数模型或建立函数模型解决实际问题.

自主学习·必备学问

名师点睛

1.常见的函数模型

（1）指数函数模型：

y=bax+c（a,b,c为常数，b≠0,a＞0

（2）对数函数模型：

y=mlogax+n（m,a,n为常数，m≠0,a＞0

（3）其他函数模型：如幂函数，二次函数，分段函数等.

2.解答数学应用题应过的三关：

（1）理解关：数学应用题的文字阅读量较大，须要通过阅读找出关键词句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么；

（2）建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题；

（3）数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法.

互动探究·关键实力

探究点一指数函数模型的应用

精讲精练

例衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为a，经过t天后其体积V与天数t的函数关系式为V=a?e-kt.已知新丸经过50天后其体积变为49

答案：由已知，得49

∴e

设经过t1天后，一个新丸的体积变为827a

∴t150=3

解题感悟

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，

迁移应用

1.一片森林原来的面积为a，安排每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用的时间是10年.为爱护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的14，已知到今年为止，森林的剩余面积为原来的2

（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3）今后最多还能砍伐多少年？

答案：（1）设每年砍伐面积的百分比为x(0＜x＜1)，则a(1-x)10=12a，又由题意知a＞0，所以

（2）设经过m年后森林的剩余面积为原来的22，则a(1-x

即(

则m10=1

故到今年为止，该森林已砍伐了5年.

（3）设从今年起先，还能砍伐n年，则n年后剩余面积为22

令22a(1-x)n≥14a，即

探究点二对数函数模型的应用

精讲精练

例（2024四川泸县第四中学高一月考）有一种候鸟每年都按肯定的路途迁徙，飞往繁殖地进行繁衍.科学家经过测量发觉，候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100-lgx

（1）若x0

（2）若x0

（3）若雄鸟的飞行速度为2.5?km/min

答案：（1）将x0=2,x=8100代入函数解析式可得，v=1

（2）将x0=5,v=0代入函数解析式可得，0=1

∴x100=

故候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为466个单位.

（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x

依题意可得{

两式相减可得1=12lo

故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.

解题感悟

有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要依据实际状况求出函数解析式中的参数，或给出详细情境从中提炼出数据，代入解析式求值，然后依据值回答其实际意义.

迁移应用

1.2024年12月8日，我国的“长征”三号乙运载火箭胜利放射了嫦娥四号探测器，这标记着中国又迈出了具有历史意义的一步.火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m（吨）和燃料质量x（吨）之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x（吨）的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(2

（1）求“长征”三号系列火箭的最大速度y(km/s)与燃料质量

（2）已知“长征”三号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8?km/s？（结果精确到0.1吨，e

答案：（1）由题意得4=k{ln[m+(e

所以y=8[ln(m+x)-ln(2m)]+4?ln

（2）由已知得M=m+x=479.8，则m=479.8-x，又y=8，

所以8=8?ln

解得x≈303.3.

故应装载大约303.3吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8?km/s

探究点三拟合数据构建函数模型解决实际问题

精讲精练

例某种蔬菜从2024年1月1日起起先上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本Q（单位：元/10?kg）与上市时间t

时间t

5

11

25

种植成本Q

15

10.8

15

（1）依据上表数据，从下列函数：Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a?bt,Q=a?logbt

（