2025届高中数学微专题74利用几何关系求解圆锥曲线问题练习含解析.docVIP

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微专题74利用几何关系求解最值问题

一、基础学问：

1、利用几何关系求最值的一般思路:

（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关

（2）遇到线段和差的最值，常常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要留意动点与定点相对位置关系。一般的，找寻线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若找寻线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。

（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置

（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，视察此动点运动时最值选取的规律，再依据规律让其他点动起来，找寻最值位置。

2、常见的线段转移：

（1）利用对称轴转移线段（详见例1）

（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。

（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。

（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径

（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（留意点在双曲线的哪一支上）

3、与圆相关的最值问题：

（1）已知圆及圆外肯定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点

（2）已知圆及圆内肯定点，则过点的全部弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦

解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中，，所以时，最小

（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于

（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为

解：，则若最小，则只需最小即可，

所以点为过作垂线的垂足时，最小

过作圆的切线，则切线长最短

4、与圆锥曲线相关的最值关系：

（1）椭圆：设椭圆方程为

①焦半径：焦半径的最大值为，最小值为

②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

（2）双曲线：设双曲线方程为

①焦半径：焦半径的最小值为，无最大值

②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

（3）抛物线：设抛物线方程为

①焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即

②焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为

二、典型例题：

例1：已知在平面直角坐标系中，点，为轴上一动点，则的最小值为___________

思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：，但从图像上发觉无论在何处，，无法取到等号。（即使共线时等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作关于轴的对称点，从而有，所以转化为，可知当三点共线时，，即

答案：

小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的肯定值取到最大值。

（2）处理线段和（差）最值问题时，假如已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件

例2：设抛物线上一点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）

A.B.C.D.

思路：通过作图可视察到干脆求的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得为到准线的距离，所以可依据抛物线定义转移为（其中是抛物线的焦点，），所以，视察图像可得：

答案：A

例3：已知过抛物线的焦点的弦与抛物线交于两点，过分别作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________

思路：设抛物线的准线为，由抛物线可知，视察图像可知。而由抛物线定义可得：，所以，即要求出的最小值，只需求出的最小值，即抛物线焦点弦的最小值，由抛物线性质可知当轴时，最小，，所以

答案：

例4：已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆上，则的最小值为（）

A.B.C.