导学案数学第七章阶段提升课.docx

阶段提升课

题型一复数的概念

1.问题类型:复数的相关概念,如虚数、纯虚数、复数的模、共轭复数、复数相等.

2.解题关键:掌握复数的相关概念.

3.核心素养:提升学生的数学抽象能力.

【典例1】(1)已知复数z满足z2z=1+3i,其中i是虚数单位,z为z的共轭复数,则z=()

A.1+i B.1i

C.1+i D.1i

【解析】选C.设z=a+bi(a,b∈R),则z=abi,由于z2z=1+3i,所以a+bi2(abi)=1+3i,整理得a+3bi=1+3i.

所以由复数相等可知:a=1,b=1,所以z=1+i.

(2)(2024·江门高一检测)已知m∈R,复数z=m(m+2)m-1+(

①z是纯虚数?

②z=12

【解析】①因为z是纯虚数,所以m2+2m-3≠0m(m+2)m-1=0

②因为z=124i,所以m2+2m-3=-4m(m+2

【总结升华】

处理复数概念问题的注意点

(1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部.

(2)复数的分类,要弄清复数类型的充要条件,若复数a+bi是实数,则b=0;若复数a+bi是纯虚数,则a=0且b≠0;若复数a+bi为零,则a=0且b=0;若复数a+bi是虚数,则b≠0.

(3)明确复数相等的条件、共轭复数的定义.

【即学即练】

1.(2024·安庆高一检测)已知a,b均为实数,复数:z=a2b+(b2a)i,其中i为虚数单位,若z3,则a的取值范围为()

A.(1,3)

B.(∞,1)∪(3,+∞)

C.(∞,3)∪(1,+∞)

D.(3,1)

【解析】选A.因为z=a2b+(b2a)i3,所以z为实数,即b-

则有a22a30,解得1a3,

即a的取值范围为(1,3).

2.(2024·张家口高一检测)已知复数z1=m22+(m+2)i(m∈R),z2=cos2θ+isinθ,若z1=z2,则实数m=__________.?

答案:1或5

【解析】若z1=z2,则m2

又cos2θ=12sin2θ,则m22=12(m+2)2,解得m=1或m=53

题型二复数及其运算的几何意义

1.问题类型:复数、复数加减、复数差的模的几何意义.

2.解题关键:掌握复数的代数形式与几何意义.

3.核心素养:提升学生的直观想象能力.

【典例2】(1)(2024·长春高一检测)在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是,,,则复数z32z1-3

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】选D.根据题意z1=3+2i,z2=2+2i,z3=12i,故z32z1-3z2=1-2i

则复数z32z1-3

(2)已知复数z满足|z|=1,则|z+512i|(i为虚数单位)的最大值为__________.?

答案:14

【解析】|z+512i|=|z(5+12i)|,记z=a+bi(a,b∈R),对应点为P(a,b),5+12i对应点为Q(5,12),复平面原点为O(0,0),由|z|=1可知,点P在单位圆x2+y2=1上,由复数减法的几何意义可知,|z+512i|表示点P,Q的距离,

易知,|OQ|1≤|PQ|≤|OQ|+1,因为|OQ|=(-5)2+122=13,所以12≤|

【总结升华】

复数及其运算的几何意义

(1)复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的点Z(a,b)与向量=(a,b);

(2)复数加、减运算的几何意义:对应向量的加、减运算;

(3)复数模的几何意义:|z1z2|表示复数z1对应的点Z1和z2对应的点Z2之间的距离.

【即学即练】

复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,求|z1z2|的值.

【解析】如图,设复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,=+;

由已知,||=3+1=2=||=||,

所以平行四边形OZ1PZ2为菱形,且△OPZ1,△OPZ2都是正三角形,

所以∠Z1OZ2=120°,

||2=||2+||22||||cos120°=22+222×2×2×12=12,

所以|z1z2|=||=23.

题型三复数的四则运算

1.问题类型:复数的四则运算.

2.解题关键:掌握运算法则与运算律.

3.核心素养:提升学生的数学运算能力.

【典例3】(2024·西安高一检测)计算下列各题:

(1)(12+32i)(32

(2)3+2i2-

(3)1+i2023

【解析】(1)原式=(3414i+34i+3

=(32+12i)(1+i)=3232i+12i+12i2

(2)原式=(

=(6+9i+4i+6i2)

(3)原式=1+i31-i+|3-

【总结升华】

复数的四则运算

(1)方法:应用运算法则结合运算律进行计算;

(2